1.4.3 正切函数的性质与图象-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

1.4.3　正切函数的性质与图象 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能画出正切函数的图象．(重点) 2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点) 1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养. 2.通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养. 正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？ [提示]　不是，在中，当k为偶数时，在函数图象上，当k为奇数时，不在函数图象上． 1．函数f(x)＝tan的单调增区间为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z C　[令kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，故单调增区间为(k∈Z)．] 2．函数y＝tan的定义域为 ． 　[因为2x－≠kπ＋，k∈Z， 所以x≠＋，k∈Z， 所以函数y＝tan的定义域为 .] 3．函数y＝tan 3x的最小正周期是 ． 　[函数y＝tan 3x的最小正周期是.] 4．函数y＝tan的对称中心是 ． (k∈Z)　[令x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)， ∴对称中心为(k∈Z)．] 有关正切函数的定义域、值域问题 【例1】　(1)函数y＝的值域是(　　) A．(－1,1)　　　　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，＋∞) (2)求下列函数的定义域： ①y＝； ②y＝lg(－tan x)． 思路点拨：(1)→ (2)①中注意分母不为零且y＝tan x本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域． (1)B　[当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴＜－1； 当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴＞1. 即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．] (2)[解]　①要使函数y＝有意义， 需使 所以函数的定义域为 . ②因为－tan x＞0，所以tan x＜. 又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)， 根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)， 所以函数的定义域是 . 1．求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 2．解形如tan x＞a的不等式的步骤 提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件． 1．求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域． [解]　要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则即－1≤tan x＜1. 当x∈上满足上述不等式的x的取值范围是. 又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为. 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 【例2】　(1)函数f(x)＝tan的周期为 ． (2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为 ． (3)判断下列函数的奇偶性： ①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x. 思路点拨：(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期． (2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出． (3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系． (1)　(2)(k∈Z)　[(1)法一：(定义法) ∵tan＝tan， 即tan＝tan， ∴f(x)＝tan的周期是. 法二：(公式法) f(x)＝tan的周期T＝. (2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.] (3)[解]　①定义域为，关于原点对称， 又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数． ②定义域为，关于原点对称， y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x， 又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函数． 1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法． (1)定义法． (2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有