1.4.2 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

第2课时　正弦、余弦函数的单调性与最值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握y＝sin x和y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2.掌握y＝sin x和y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点) 1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质，提升学生的数学抽象素养. 2.通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养. 正弦、余弦函数的图象与性质 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在＋2kπ，k∈Z上递增， 在 ＋2kπ，k∈Z上递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ，0)k∈Z k∈Z 思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？ [提示]　由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π. 1．y＝2sin的值域是(　　) A．[－2,2]　　　　 B．[0,2] C．[－2,0] D．[－1,1] A　[这里A＝2，故值域为[－2,2]．] 2．函数y＝sin的一个对称中心是(　　) A. B. C. D. B　[y＝sin＝cos 2x，令2x＝kπ＋(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，令k＝0的对称中心为，故选B.] 3．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为 ． 　[当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3， 此时x＝2kπ－，k∈Z.] 4．函数f(x)＝cos的单调减区间为 ． (k∈Z)　[令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调减区间为(k∈Z)．] 正弦函数、余弦函数的单调性 【例1】　(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是 ． (2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间． 思路点拨：(1)确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围． (2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sin u＋1的单调递增区间． (2)[解]　令u＝＋2x，函数y＝sin u＋1的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z. 1．本例(2)中条件不变，问是该函数的单调递增区间吗？ [解]　令2x＋＝u，∵x∈， ∴≤2x＋≤，即u∈. 而y＝sin u在上不单调， 故y＝sin＋1在上不是单调递增的． 2．本例(2)中条件不变，求在[－π，π]上的单调递增区间． [解]　对于y＝sin＋1， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． ∵－π≤x≤π， 令k＝－1时，－π≤x≤－π， 令k＝0时，－≤x≤， 令k＝1时，≤x≤π， ∴函数y＝sin＋1在[－π，π]上的单调递增区间为、和. 3．本例(2)中把条件中的“＋2x”改为“－2x”，结果怎样？ [解]　y＝sin＋1＝－sin＋1， 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 故函数y＝sin＋1的单调递增区间为(k∈Z)． 1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得． 2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时，同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间． 提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律． 1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为 ． (2)已知函数y＝cos，则它的单调递减区间为 ． (1)， (2)(k∈