1.4.2 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点) 3.掌握函数y＝sin x和y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点) 1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象素养. 2.通过周期性和奇偶性的学习，提升学生的直观想象素养. 1．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 思考：函数y＝|sin x|，y＝|cos x|是周期函数吗？ [提示]　是，周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π. 1．下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin 　　　　　 B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x D　[根据公式T＝可知＝，得ω＝4，故应选D.] 2．函数y＝2sin是(　　) A．周期为π的奇函数　　 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 B　[y＝2sin＝2cos 2x，它是周期为π的偶函数．] 3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝ . 6　[由已知得f(x＋2)＝f(x)， 所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.] 三角函数的周期问题及简单应用 【例1】　求下列函数的周期： (1)y＝sin； (2)y＝|sin x|. 思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立． 法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期． [解]　(1)法一：(定义法)y＝sin ＝sin＝sin， 所以周期为π. 法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π. (2)作图如下： 观察图象可知周期为π. 1．本例(2)中函数变成“y＝|cos x|”，图象如何？ [解]　作图如下： 观察图象可知周期是π. 2．本例(2)中函数变成y＝sin |x|或y＝cos |x|，图象如何？ [解]　作图如下： 由图象可知y＝sin |x|不是周期函数，y＝cos |x|的图象与y＝cos x图象相同，仍为周期函数，周期为2π. 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝. 1．利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y＝cos 2x，x∈R； (2)y＝sin，x∈R. [解]　(1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π. (2)因为sin ＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π. 三角函数奇偶性的判断 【例2】　(1)若函数y＝2sin(x＋φ)为偶函数，则φ的值的集合为 ． (2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝sin； ②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； ③f(x)＝. 思路点拨：(1)→ → (2) (1)　[因为y＝cos ωx为偶函数，y＝sin ωx为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y＝2cos x或y＝－2cos x，只有φ＝kπ＋(k∈Z)．] (2)[解]　①显然x∈R，f(x)＝cosx， ∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． ②由得－1＜sin x＜1， 解得定义域为， ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)， ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． ③∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. ∵