1.1.2 弧度制-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

1.1.2　弧度制 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．理解“弧度的角”的定义，能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽象素养． 2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养. 1．度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的. (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 3．角度制与弧度制的换算 4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 5.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 1．下列说法中错误的是(　　) A．1弧度的角是周角的 B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制 C．1弧度的角大于1度的角 D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 A　[A错误，1弧度的角是周角的.B、C、D都正确．] 2．(1)化为角度是________． (2)105°的弧度数是________． (1)252°　(2)　[(1)＝°＝252°； (2)105°＝105× rad＝ rad.] 3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________． 　[由已知得S扇＝××22＝.] 4．－π是第________象限的角． 三　[－π＝－8π＋，∵是第三象限角， ∴－π也是第三象限角．] 角度与弧度的互化与应用 【例1】　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. [解]　(1)72°＝72×＝； (2)－300°＝－300×＝－； (3)2＝2×＝； (4)－＝－＝－40°. 角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键； 2方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. 1．(1)将－157°30′化成弧度为________； (2)将－化为度是________． (1)－π rad　(2)－396°　[(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad. (2)－＝°＝－396°.] 2．在[2π，4π]中，与72°角终边相同的角是________．(用弧度表示) π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)． 当k＝1时，θ＝432°＝π， 所以在[2π，4π]中与72°角终边相同的角是π.] 用弧度制表示角 【例2】　(1)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π，并判断它是第几象限角？ (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合． 思路点拨：(1)→ → (2)→→ [解]　(1)－1 480°＝－1 480×＝－＝－10π＋，其中0≤＜2π，因为是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角． (2)因为30°＝ rad,210°＝ rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为. 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示． 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤． (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用. 3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z)　 B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) C　[A，B中弧度与角度混用，不正确． π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.] 4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合． [解]　30°＝，150