第1章 阶段综合提升 第2课 三角函数的图象与性质及其应用-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

第二课　三角函数的图象与性质及其应用 [巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 三角函数的图象及解析式的确定 【例1】　(1)函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　) (2)如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数解析式是(　　) A．y＝sin　　　　 B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin (3)已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图象． (1)A　(2)A　[(1)y＝tan的周期T＝＝2π，排除B，D. 当x＝0时，tan＝－.故选A. (2)由图象易看出A＝1，由4＝得ω＝1，再由＋φ＝得φ＝，故选A.] (3)[解]　∵x∈， ∴2x－∈. 列表： x － －π － π 2x－ －π －π － 0 π f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2 描点连线如图所示： 1．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤： 第一步：列表，由ωx＋φ＝0，，π，，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值． x － － － － － ωx＋φ 0 π π 2π y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象． 2．由已知条件确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法． ①平衡点法 由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asin知它的平衡点的横坐标为－，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1＝－，则可求φ. ②确定最值法 这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程． ③利用单调性 将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ. [跟进训练] 1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的振幅为4，周期为6π，初相为－. (1)写出这个函数的解析式； (2)用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象． [解]　(1)由已知得A＝4，ω＝＝，φ＝－， 因此这个函数的解析式为y＝4sin. (2)列表： x π 4π 7π x－ 0 π 2π y＝4sin 0 4 0 －4 0 描点画图，其图象如图所示： 三角函数的图象变换问题 【例2】　(1)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移m个单位(m＞0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________． (2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的图象上的一个最低点为M，周期为π. ①求f(x)的解析式； ②将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式； ③当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值． 思路点拨：(1)使平移后的初相位为kπ＋(k∈Z)即可． (2)→→ (1)　[f(x)＝2sin向右平移m个单位得y＝2sin为偶函数，所以2m＋＝＋kπ(k∈Z)⇒m＝＋(k∈Z)，因为m＞0，所以mmin＝.] (2)[解]　①由题可知T＝＝π， ∴ω＝2.又f(x)min＝－2， ∴A＝2.由f(x)的最低点为M，得sin＝－1. ∵0＜φ＜， ∴＜＋φ＜. ∴＋φ＝.∴φ＝. ∴f(x)＝2sin. ②y＝2sin y＝2sin ＝2siny＝2sin ＝2sin x，∴g(x)＝2sin x. ③∵0≤x≤，∴≤2x＋≤. ∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)min＝2sin ＝1， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2sin＝. 1．函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法． 2．对称变换． (1)y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； (2)y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； (3)y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象． [跟进训练] 2．将函数y＝sin的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，求与最终的图象对应的函数的解析式． [解]　将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝sin＝sin，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，则与其对应的函数的解析式为y＝sin. 三角函数的性质 【例3】　(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　) A. B. C. D.