第1章 阶段综合提升 第1课 弧度制、任意角三角函数-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

第一课　弧度制、任意角三角函数 [巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 象限角及终边相同的角 【例1】　已知α＝－800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈. [解]　(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π， ∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. ∵α与角终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z. 又γ∈，∴－＜2kπ＋＜，k∈Z， 解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－. 1．灵活应用角度制或弧度制表示角． (1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用． (2)角度制与弧度制的换算 设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°，n°＝rad. 2．象限角的判定方法． (1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． 1．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角． [解]　(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)．由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k·360°＜－9 670°， 解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. 弧度制下扇形弧长及面积公式的计算 【例2】　已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ [解]　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝cm. S弓＝S扇－S△＝××10－×10×10×cos ＝50cm2. (2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝， ∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R ＝－R2＋cR＝－＋. 当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是. 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略： 1明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角； 2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解. 2．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积． [解]　∵120°＝π＝π， ∴l＝6×π＝4π，∴的长为4π. ∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π， 如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9. ∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9. ∴弓形ACB的面积为12π－9. 任意角三角函数的定义 【例3】　(1)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为(　　) A．4　　　　　 B．±4 C．－4或－ D. (2)已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． (1)C　[因为角α的终边上有一点P(－4，a)，所以tan α＝－， 所以sin αcos α＝＝＝＝， 整理得a2＋16a＋16＝0，(a＋4)(a＋4)＝0，所以a＝－4或－.] (2)r＝＝13|m|， 若m＞0，则r＝13m，α为第四象限角， sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝， tan α＝＝＝－. 若m＜0，则r＝－13m，α为第二象限角， sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－. 利用定义求三角函数值的两种方法. 1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值. 2取角α的终边上任意一点Pa，b原点除外，则对应的角α的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝\f(b,a).当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 3．已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α值． [解]　因为角α的终边在直线y＝x上，所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点． 则r＝＝2|a|(a≠0)． 若a＞0，则