2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) 1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养学生的数学运算素养. 2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升学生逻辑推理和数学运算素养. 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 2.向量模的公式 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 3．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. 4．向量的夹角公式 设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则 cos θ＝＝. 思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ [提示]　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向． 易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直， 所以与a垂直的单位向量b0的坐标为 ±，其中正、负号表示不同的方向． 1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　) A．3　　　　　　 B．－3 C. D．－ A　[a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选A.] 2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________. 1　2　[a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝＝2.] 3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______. 　[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0， 解得m＝.] 4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． 　[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13， 所以a与b夹角的余弦值为＝＝.] 平面向量数量积的坐标运算 【例1】　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________． (2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. ①求a的坐标； ②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. 思路点拨：(1) (2) ①先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝10求λ. ②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值． (1)　[以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系， 则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)． 可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝， 所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.] (2)[解]　①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)， 则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a＝(2,4)． ②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0， (a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)． 数量积运算的途径及注意点 1进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. 2对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解. 1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1　　　　　　 B．0 C．1 D．2 C　[∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.] 2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 A　[由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.] 向量模的坐标表示 【例2】　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于(　　) A．4 B．5 C．3 D．4 (2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求： ①向量a的模； ②与a平行的单位向量的坐标； ③与a垂直的单位向量的坐标． 思路点拨：综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解． (1)D　[由a∥b得y＋4＝0， ∴y＝－4，b＝(－2，－4)， ∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4.故选D.] (2)[解]　①∵a＝