专题18 构造函数法解决导数问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题18 构造函数法解决导数问题 1．以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 2．(1)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、 逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 (2)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、 逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 (3)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、 逆用“＝′”，构造可导函数y＝，再利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 3．构造函数解决导数问题常用模型 (1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)－ax. (2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)． (3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)． (4)条件：f′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝. (5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)． (6)条件：xf′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝. 题型一　构造y＝f(x)±g(x)型可导函数 1．设奇函数f(x)是R上的可导函数，当x>0时有f′(x)＋cos x<0，则当x≤0时，有(　　) A．f(x)＋sin x≥f(0)　　　B．f(x)＋sin x≤f(0) C．f(x)－sin x≥f(0) D．f(x)－sin x≤f(0) 解析：观察条件中“f′(x)＋cos x”与选项中的式子“f(x)＋sin x”，发现二者之间是导函数与原函数之间的关系，于是不妨令F(x)＝f(x)＋sin x，因为当x>0时，f′(x)＋cos x<0，即F′(x)<0，所以F(x)在(0，＋∞)上单调递减，又F(－x)＝f(－x)＋sin(－x)＝－[f(x)＋sin x]＝－F(x)，所以F(x)是R上的奇函数，且F(x)在(－∞，0)上单调递减， F(0)＝0，并且当x≤0时有F(x)≥F(0)，即f(x)＋sin x≥f(0)＋sin 0＝f(0)，故选A. 2．设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论一定错误的是(　) A．f<　　　　　B．f> C．f< D．f> 解析：根据条件式f′(x)>k得f′(x)－k>0，可以构造F(x)＝f(x)－kx，因为F′(x)＝f′(x)－k>0， 所以F(x)在R上单调递增．又因为k>1，所以>0，从而F>F(0)，即f－>－1， 移项、整理得f>，因此选项C是错误的，故选C. 3．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对于任意x∈R，都有f′(x)＋2>0， 则不等式f(log2|3x－1|)<3－log|3x－1|的解集为(　　) A．(－∞，0)∪(0,1)　　 B．(0，＋∞) C．(－1,0)∪(0,3) D．(－∞，1) 解析：根据条件中“f′(x)＋2”的特征，可以构造F(x)＝f(x)＋2x，则F′(x)＝f′(x)＋2>0， 故F(x)在定义域内单调递增，由f(1)＝1，得F(1)＝f(1)＋2＝3，因为由f(log2|3x－1|)<3－log|3x－1|可化为f(log2|3x－1|)＋2log2|3x－1|<3，令t＝log2|3x－1|，则f(t)＋2t<3.即F(t)<F(1)，所以t<1.即log2|3x－1|<1， 从而0<|3x－1|<2，解得x<1且x≠0，故选A. 4．设定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝2，f′(x)<1，则不等式f(x2)>x2＋1的解集为________． 解析：由条件式f′(x)<1得f′(x)－1<0，待解不等式f(x2)>x2＋1可化为f(x2)－x2－1>0， 可以构造F(x)＝f(x)－x－1，由于F′(x)＝f′(x)－1<0，所以F(x)在R上单调递减． 又因为F(x2)＝f(x2)－x2－1>0＝2－12－1＝f(12)－12－1＝F(12)，所以x2<12，解得－1<x<1， 故不等式f(x2)>x2