专题15 利用导数研究方程的根-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题15 利用导数研究方程的根 一、单选题 1．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】对原函数求导得，， 因为函数有两个极值点， 所以有两个不等实根，即有两个不等实根， 亦即有两个不等实根.令，则 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，又因为当时，，当时，， 所以，解得，即a的范围是.故选：B 2．若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【解析】设，，令，解得或， 则，随的变化如下表 单调递增 极大值4 单调递减 极小值 单调递增 则当时，函数有极大值；当时，函数有极小值， 又当时，，当，， 所以当时，有三个不同的实数根，此时，故选：. 3．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，设，. 当时，，为增函数； 当时，，为减函数,且. 所以有最大值，简图如下， 由图可知，时符合题意.故选：C. 4．设函数，若方程有个不同的实根，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】令； 方程有个不同的实根等价于与有个不同的交点； 当时，， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 则可得图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有个不同的交点； 综上所述：实数的取值范围为.故选：A. 5．若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】依题意关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根， ，构造函数，， 所以在区间递减；在区间递增. ，，， 所以.故选：D 6．已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是(       ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 当，；当，， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，，故的大致图象如图所示： 关于的方程等价于， 即或，由图知，方程有且仅有一解，则有两解， 所以，解得，故选:C. 7．已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，可得函数的定义域为： 方程有两个实数解，，即得， 方程有两个实数解， 此时令，则直线与函数的图象有两个交点， 令，则有，或，；, 在上单调递增，在上单调递减,（1）, 当时，；当时， 若使直线与有两个交点，则需使.故选：D． 8．若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由，得， 因为当时，函数，， 所以在区间内，单调递减﹐在区间内单调递增﹐ 而函数， 在区间内单调递增，在区间内单调递减. 所以，若方程有两个不等实根，则只需即可， 即，解得.故选：D 9．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】由的方程，则，， 设，，则， 令，，则， 即在上为增函数，，， 当时，，，当时，，， 关于的方程在，上有两解，， 又，即，故选：B 10．已知函数若方程恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题，当时，令， 根据一次函数性质可得，此时有一个根，，此时无根； 当时，令，求导， 令，当时，在上单调递增，故无零点，不满足题意； 当时，在单调递减，在单调递增， 由题，函数恰有3个零点，则说明在当时，有1个零点， 在时有两个零点，故可知且， 所以，解得； 综上可得，故选：B 二、多选题 11．若关于的方程有两个实数根，则的取值可以是（       ） A． B． C． D． 【解析】 ， 相当于用和这两条水平的直线去截函数的图像一共要有两个交点. ，所以当时，；当时，； 所以函数的增区间为减区间为.且当取时，，当取时，，. 所以函数图象如图所示， 当时，，和和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意； 当时，，和和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意； 当时，，和和函数的图象各有两个交点，共有四个交点，不满足题意； 当时，，和和函数的图象各有两个交点和零个交点，共有两个交点，满足题意. 故选：ABD 12．已知函数，（是自然对数的底数），若关于x的方程恰有两个不等实根､，且，则的可能取值是（       ） A． B． C． D． 【解析】方程等价于： 和共有两个不同的实数根､，且， 故且为方程的根，为的根. 故，故，因为，故即，故， 故，设，，则， 当时，；当时，； 故在上为减函数，在为增函数，故在的值域为， 因为，， .故选：CD. 13．已知为函数的导函数，