专题14 利用导数研究函数零点问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题14 利用导数研究函数零点问题 一．函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数. 二．利用导数确定函数零点的常用方法 (1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． (2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 三．利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 专项突破一　判断函数零点的个数 一、单选题 1．函数 所有零点的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由题可知，，且， 故函数为定义域上的偶函数，且， 当，且时，， 当时，，函数单调递减，且，故函数在区间上无零点， 当时，，函数单调递减，当时，，当时，，故函数在区间上必存在一点，使得，所以函数在区间上有1个零点， 又函数为定义域上的偶函数，则函数在区间上有1个零点，又， 所以函数共有3个零点.故选：C. 2．已知函数，则函数的零点个数为（       ） A．1 B．0 C．3 D．2 【解析】当时，，得，即，成立， 当时，，得，设，， ，得或（舍）， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以时，函数取得最大值，，，， 根据零点存在性定理可知，，存在1个零点， 综上可知，函数有2个零点.故选：D 3．函数的零点个数为(       ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】， 令，，则，故h(x)在上单调递增， ∵，， ∴存在唯一的，使得，即，即，， ∴当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， ∴， ∴函数的零点个数为1．故选：B． 4．已知，则函数的零点个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】函数定义域为，求导得：， 令，，显然在上单调递减，而，，， 则存在，使得，即，当时，，，当时，，，因此，在上单调递增，在上单调递减， ， 而，则存在使得，即在上存在唯一零点，又，令，， 则在上单调递减，，， 于是得，则存在使得，即在上存在唯一零点， 综上得：函数的零点个数为2.故选：C 5．已知a∈R，则函数零点的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．与a有关 【解析】令，得. 令，，只需看两个图像的交点的个数. 所以在R上单调递增.当时，；当时，； 所以与有且只有一个交点.故选：A 6．已知为R上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【解析】构造函数，其中，则， 当时，.当时，， 此时，函数单调递减，则；当时，， 此时，函数单调递增，则. 所以，当时，； 当时，.综上所述，函数的零点个数为0.故选：A. 二、填空题 7．设函数满足，则函数的零点个数为______. 【解析】因为①，所以②，①×2-②， 得，即，则， 当，或时，单调递增，当时，单调递减， 所以的极小值为，极大值为， 因为的零点为0或3，所以由， 得或，即或， 因为的极小值为，极大值为，所以方程有3个不同的实数解，又有2个不同的实数解，所以的零点个数为5. 8．已知函数则函数零点的个数为___________ 【解析】时，，时，，递减； 时，，递增； 则时，取极小值也是最小值； 时，，时，，递减； 时，，递增；则时，取极小值也是最小值， 综上所述，可作出图象，在作两条直线， 结合图象可知，与有个交点. 三、解答题 9．已知函数. (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由. 【解析】(1)由， 而，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为： ； (2)函数的定义域为，由（1）可知：， 当时，单调递增， 因为，所以函数在时有唯一零点； 当时，单调递增， 因为，所以函数在时有唯一零点， 所以函数f（x）有个零点. 10．设函数. （1）讨论在定义域上的单调性； （2）当时，判断在，上的零点个数． 【解析】（1）由题意，函数的定义域为， 可得， ①当时，，则在上是减函数； ②当时，， 则当时，，单调递增；