专题13 利用导数研究不等式能成立问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题13 利用导数研究不等式能成立问题 已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． ①一般地，，使得有解，则只需； ②，使得有解，则只需。 一、单选题 1．已知，若∃，使，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】依题意可得不等式在内有解，设，， 则， 由，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，，所以，所以.故选：A. 2．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】存在，不等式成立， 则，能成立，即对于，成立， 令，，则，令， 所以当，单调递增， 当，单调递减，又，所以， 所以.故选：C 3．已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（       ） A．2 B． C．1 D． 【解析】函数的定义域为，. 令，得或（舍）. 当时，；当时，. 所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1. 因为存在，使得不等式成立，所以，所以实数m的最小值为1.故选：C 4．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】依题意：，令， 则，令， 则，易知单调递增，，所以单调递增， 故，故，则在上单调递增，故， 即实数的取值范围为，故选：B. 5．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（       ） A．7 B．5 C． D．3 【解析】因为，所以， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，， 所以当时，， 因为，所以在区间上单调递减， 所以当时，， 因为对任意，总存在，使得成立，所以，即， 所以实数的最大值为3，故选：D 6．已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（       ） A． B． C． D． 【解析】因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增， 则等价于，即， 令，，， 因为，所以，，所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以的最大值为；故选：B 7．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得， 即，令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以.故选：A 8．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】的定义域为，， ∵当时， ，当时， ， ∴在上单调递增，在上单调递减，即， 又∵存在，使得成立，∴ ，解得，则实数的取值范围为， 故选：D. 9．已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得：使得不等式成立. 令则. 而，， 所以当时，，所以在单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增，因为，所以，故实数a的取值范围为. 故选：A 10．已知函数，，若存在、，使得成立，则的最大值为（       ） A． B．1 C． D． 【解析】，， 对于函数，，， 所以在上，，单调递增，又， 所以，，所以，则， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即当时，取得最大值.故选：A 二、多选题 11．若关于的不等式在上有解，则实数的取值可以是（       ）． A． B．1 C． D． 【解析】依题意，问题等价于关于的不等式在上有解．令，，则．令，，则，易知单调递增，，所以单调递增，故，故，则在上单调递增，故，即实数的取值范围为．故选：ABC 12．已知函数，，若，，使得成立，则a的取值可以是（       ） A．0 B． C． D． 【解析】， 当时，，当时，， 所以在上递减，在，上递增，故当，时，， 对于二次函数，该函数开口向下， 所以其在区间，上的最小值在端点处取得， 所以要使对，，，，使得成立，只需， 因为函数开口向下，所以当，时，（1），（2）， 所以或，所以或，解得．故选：AD. 三、填空题 13．已知函数，若，则实数a的取值范围是___________. 【解析】由，可得， 令，则， ∴，函数单调递增，，函数单调递减， 所以时，函数有最大值，∴. 14．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________. 【解析】由题可知：， 因为函数在上存在极值点，所以有解 所以，则或 当或时，函数与轴只有一个交点，即 所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去 所以或，即或 15．已知，若存在，使不等