专题11 利用导数证明不等式-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题11 利用导数证明不等式 考点一　单变量不等式的证明 1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．　　 2.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．　　 3.导数的综合应用题中，最常见就是ex和ln x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下： (1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号； (2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号； (3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号； (4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号； (5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号； (6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．　　 考点二　双变量不等式的证明 破解含双参不等式的证明的关键 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式； 二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．　　 考点三　证明与数列有关的不等式 (1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到． (2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为ln(x＋1)＜x等．　　 专项突破一　单变量不等式的证明 1．已知，，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求证：． 【解析】(1)，当时，，即在上单调递减， 故函数不存在极值； 当时，令，得， x + 0 - 增函数 极大值 减函数 故，无极小值. 综上，当时，函数不存在极值； 当时，函数有极大值，，不存在极小值． (2)显然，要证：，即证：，即证：， 即证：．令，故只须证：． 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即，所以，从而有．故，即． 2．已知函数. (1)若在上有2个零点，求a的取值范围； (2)证明：. 【解析】(1)当时，，由，得. 设函数，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为，且在上有2个零点. 所以a的取值范围为. (2)要证，只需证. 当时，，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立. 设函数，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 故，因为，所以等号取不到，所以， 即，所以. 3．已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 【解析】(1)，，， 故曲线在点处的切线方程为.即． (2)设， 则． 由（1）知，又， 所以，所以在上单调递增，故， 所以，，． 4．已知函数. （1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围； （2）若且，求证：. 【解析】（1）函数的定义域为，，又在定义域内为增函数，    则恒成立，即恒成立，即，                        又当时，，当且仅当时等号成立，∴， 即实数的取值范围是；                                                                    （2）∵，则，要证， 即证：，                                                                  设，其中，则，当时， 故在为增函数，∴，                                      设，其中， 则当时，，又，∴， 则，∴恒成立，即原不等式成立. 5．已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)证明：. 【解析】(1)当时，等价于. 令函数，则. 若，则单调递减，，不符合题意. 若，则，.因为函数在上单调递增，所以 .当时，单调递减，，不符合题意. 若，则单调递增，，符合题意. 综上所述，实数a的取值范围是 (2)证明：由（1）知:当时,. 要证，只需证，即证 . 令函数，则 当时，单调递减；当时，，单调递增. 故，即. 当时，单调递增； 当时，单调递减. 故，因为，所以，即，从而 6．已知函数. (1)若有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：