专题10 分类讨论法解决含参函数单调性问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题10分类讨论法解决含参函数单调性问题 1．函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整． 2．利用分类讨论解决含参函数的单调性、极值、最值问题的思维流程 3．口诀记忆 导数取零把根找，先定有无后大小；有无实根判别式，两种情形需知晓． 因式分解见两根，逻辑分类有区分；首项系数含参数，先论系数零正负． 首项系数无参数，根的大小定胜负；定义域，紧跟踪，两根是否在其中． 题型一 可求根或因式分解 1．已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 解析：　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x＝a， ①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 2．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性． 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1， 当a>0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a<0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减； 当a＝0时，f(x)为常函数． 3．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)， ①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a>0时，令f′(x)＝－a＝＝0，可得x＝， 当0<x<时，f′(x)＝>0；当x>时，f′(x)＝<0， 故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减． 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减． 4．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 解析：函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝． ①当0<a<1时，>1，∴x∈(0，1)和时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； ②当a＝1时，＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>1时，0<<1，∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 5．设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性． 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋＝． 当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)． (1)当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (2)当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (3)当－＜a＜0时，Δ＞0．设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点， 则x1＝，x2＝． 由x1＝＝＞0， 所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． 综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当－＜a＜0时，f(x)在，上单调递减， 在上单调递增． 6．已知f(x)＝(x2－ax)lnx－x2＋2ax，求f(x)的单调递减区间． 解析：易得f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝(2x－a)ln x＋x－a－3x＋2a＝(2x－a)ln x－(2x－a)＝(2x－a)(lnx－1)， 令f′(x)＝0得x＝或x＝e． 当a≤0时，因为x＞0，所以2