2.4.1 直线与圆锥曲线的交点-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（北师大版）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 第二章　圆锥曲线 课程标准：理解直线与圆锥曲线的三种位置关系，并掌握判断方法． 教学重点：通过类比直线和圆的位置关系，学会判断直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系． 教学难点：几何图形和代数方程的相互转化． 核心素养：通过学习直线与圆锥曲线的交点问题，提升逻辑推理及数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 相交 相切 相离 相交 相切 相离 相交 相切 相离 相切 充要 充分 × √ × × 1或0 2 核心素养形成 PART TWO 题型一　直线与椭圆的交点问题 解 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围． 解 题型二　直线与抛物线的交点问题 例2　已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？ 解 解 直线与抛物线交点个数的判断方法 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0， ①若a≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点． ②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． [跟踪训练2]　已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 解 解 题型三　直线与双曲线的交点问题 解 解 解 判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如一元二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解． [跟踪训练3]　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围． 解 3 随堂水平达标 PART THREE 解析　把y＝－x＋3代入椭圆方程，得5x2－24x＋32＝0，Δ＝(－24)2－4×5×32<0，故直线与椭圆相离． 答案 解析 2．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知直线l1，l2与抛物线C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C有两个交点，设相交于A，B两点，∴当过点P的直线l2过点A或过点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条． 答案 解析 答案 解析 4．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于________. 答案 解析 解 4 课后课时精练 PART FOUR 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案　6 答案 解析 答案 解析 8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________. 答案 解析 三、解答题 9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值． 解 解 解 解 解 解 解 解 解 解 解 解 本课结束 (教师独具内容) 知识点　直线与圆锥曲线的位置关系 (1)判断方法 ①代数法：将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数问题，进而转化为一元二次(或一次)方程解的情况去研究． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(直线方程,圆锥曲线方程)) eq \o(――――→,\s\up17(消去y))ax2＋bx＋c＝0. 方程特征 交点个数 位置关系 直线与 椭圆 a≠0，Δ>0 2 eq \x(\s\up1(01))______ a≠0，Δ＝0 1 eq \x(\s\up1(02))______ a≠0，Δ<0 0 eq \x(\s\up1(03))______ 直线与抛 物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0，Δ>0 2 eq \x(\s\up1(04))__