1.2 直线的方程-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

1.2 直线的方程 一、直线的点斜式方程 1、定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2、两种特殊的直线： （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 二、直线的斜截式方程 1、定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例。 （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距， 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 三、直线的两点式方程 1、定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线。 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 四、直线的截距式方程 1、定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 2、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； （2）纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 3、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用。 五、直线的一般方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 题型一 直线的点斜式方程 【例1】若直线l过点且斜率，则l的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点斜式可得直线方程为， 整理得.故选：A. 【变式1-1】已知直线的倾斜角为45°，且过点，则在直线上的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率，方程为，即， 将A，B，C，D中各点代入知， A正确.故选：A 【变式1-2】倾斜角为，且过点的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为倾斜角为，所以该直线不存在斜率， 因为该直线过点，所以直线方程为，故选：C 【变式1-3】经过点()且平行于轴的直线方程为___________． 【答案】 【解析】因为直线平行于轴，所以该直线的斜率不存在，故方程为 【变式1-4】根据下列条件，分别写出直线的方程： （1）过点，倾斜角为30°； （2）过点，倾斜角为135°； （3）过点，倾斜角为0°； （4）过点，倾斜角为90°. 【答案】（1）；（2）；（3）y=4；（4）x=3 【解析】（1）斜率，点斜式直线方程为：，即； （2）斜率，点斜式直线方程为：，即； （3）由于，点斜式直线方程为：y=4； （4）由于倾斜角为，斜率不存在，不能表达为点斜式直线方程，直线方程为：x=3； 题型二 直线的斜截式方程 【例2】下列说法： ①任何一条直线在y轴上都有截距； ②直线在y轴上的截距一定是正数； ③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线． 其中正确的是（ ）． A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【解析】因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以①错误； 直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标， 截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误； 不垂直于x轴的任何直线都有斜率， 所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确．故选：D. 【变式2-1】直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为， 则， 所以. 【变式2-2