1.1 直线的斜率与倾斜角-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

1.1 直线的斜率与倾斜角 一、直线的斜率 1、定义：对于直线上任意两点、，如果， 那么直线的斜率公式为 【注意】利用斜率公式计算直线的斜率时，两点坐标顺序不影响结果。 2、当时，直线斜率不存在； 二、直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. 2、倾斜角的范围： 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为， 三、直线的倾斜角与斜率的关系 1、直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，； （2）直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知： 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 题型一 根据两点坐标求斜率 【例1】直线过点，，那么直线的斜率是（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】直线过点，， 直线的斜率，故选：B． 【变式1-1】分别求经过下列两点的直线的斜率； （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4）. 【解析】（1）由斜率公式可得经过，两点的直线的斜率为：； （2）由斜率公式可得经过，两点的直线的斜率为：； （3）由斜率公式可得经过，两点的直线的斜率为：； （4）由斜率公式可得经过，两点的直线的斜率为：； 【变式1-2】设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________. 【答案】1 【解析】因为直线l经过点､， 所以直线l的斜率是. 【变式1-3】设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________. 【答案】1 【解析】因为直线l经过点､， 所以直线l的斜率是. 【变式1-4】已知点，，且直线PQ的斜率为1，求实数m的值． 【答案】 【解析】由题意，直线PQ的斜率，解得： 【变式1-5】已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，求点的坐标． 【答案】或. 【解析】若在轴上，则可设，，解得：，； 若在轴上，则可设，，解得：，； 综上所述：点的坐标为或. 【变式1-6】（1）当m为何值时，经过两点，的直线的斜率是12？ （2）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是60°？ （3）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是钝角？ 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】（1）由题意，； （2）由题意，解得； （3）由题意，解得或． 题型二 倾斜角与斜率的关系 【例2】（多选）在下列四个命题中，错误的有（ ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】ABCD 【解析】对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B：直线倾斜角的取值范围是，所以B错误； 对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误； 对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误. 故选：ABCD 【变式2-1】下列说法中正确的是( ) A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角 C．和轴平行的直线，它的倾斜角为 D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 【答案】D 【解析】直线倾斜角的范围是[0，π)，当倾斜角是时直线无斜率，故A错误； 直线倾斜角的范围是[0，π)，0和既不是锐角也不是钝角，故B错误； 和轴平行的直线，它的倾斜角为0，故C错误； 每一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，故D正确．故选：D﹒ 【变式2-2】经过点、两点的直线的倾斜角为（ ） A．90º B．120º C．135º D．150º 【答案】D 【解析】因直线过点、，则直线l的斜率， 直线l的倾斜角为满足，显然，则有，解得， 所以直线的倾斜角为.故选：D 【变式2-3】（多选）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】直线倾斜角的取值范围为， 当时，旋转后得到的倾斜角为：； 当时，旋转后得到的倾斜角为：.故选：AC. 【变式2-4】当直线l的倾斜角时，则直线l的斜率的取值范围为______． 【答案】