2.1 命题、定理、定义-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

2.1 命题、定理、定义 一、命题 1、命题概念：在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。 【注意】 （1）不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题； （2）只有能够判断真假的陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题； 3、命题的分类： 命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。 （1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等； （2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可； （3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。 4、判断一个命题真假的方法： 在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可；而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。 二、命题的结构形式 1、命题的一般形式：“若，则”，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论。 2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式. 三、公理、定理、定义 1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。 2、定理：已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。 3、定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 题型一 命题概念的理解 【例1】下列语句为命题的是（ ） A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等 【答案】D 【解析】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.故选：D 【变式1-1】下列语句中不是命题的有（ ） ①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④． A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【解析】能判断真假的陈述句是命题，由此可知： ①④没有的范围，故不能判断真假，故①④不是命题； ②是疑问句，故不是命题； ③是陈述句，且错误，故是命题；故选：C. 【变式1-2】下列语句是命题的是（ ） A．鹿晗很帅 B．请把手机收起来！ C． D． 【答案】D 【解析】能够判断真假的陈述句叫命题， 则只有，能够判断真假， 故只有D是命题，故选：D． 【变式1-3】唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【答案】A 【解析】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题； 对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题.故选：A. 【变式1-4】关于区间，有下列四个命题： 甲：小于1的数都不在区间I内 乙：区间I内不存在两个数互为倒数 丙：区间I内存在小于1的数 丁：区间I内每个数的平方都大于它本身 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】由题意得：根据甲和丙两个命题可知甲和丙互相矛盾，故两个命题必然一真一假； 又因为只有一个假命题，所以乙和丁都为真命题； 根据乙和丁可知，故丙为假命题；故选：C 题型二 命题的结构形式 【例2】写出下列命题的条件与结论. （1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等； （2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等； （4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例. 【答案】答案见详解 【解析】（1）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两个三角形全等 结论：这两个三角形的对应高相等 （2）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等 结论：这两个三角形全等 （3）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：一个四边形是菱形 结论：这个四边形的四边相等 （4）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两条直线被一组平行线所截 结论：所得的对应线段成比例 【变式2-1】写出下列命题的条件和结论. （1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； （3）若a，b都是偶数，则是偶数； （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；