第05讲 平面上的距离-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与方程 第05讲 平面上的距离 ( 目标导航 ) 课程标准 重难点 1.探索并掌握两点间的距离公式 2.探索并掌握点到直线的距离公式. 3.会求两条平行直线间的距离. 1.点到点的距离计算 2.点到直线距离计算 3.直线与直线间的距离 ( 知识精讲 ) 知识点01 平面上两点的距离 1.两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地,原点到任意一点的距离为. 注意: 1.在公式中,和的位置没有先后之分,即和间的距离也可表示. 2.当平行于轴时, 当平行于轴时, . 2.中点坐标公式 若,则线段的中点的坐标计算公式为. 【即学即练1】若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】线段的中点为，设，所以，所以.故选：A 【即学即练2】已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设边的中点为.因为，，所以，，即，所以，故选：B. 知识点02 点到直线的距离 1.点到直线的距离公式 点到直线不同时为零)的距离. 注意: 1.点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离(这是从运动观点来看的). 2.若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离. 3.点到直线的距离公式适用于任何情况,其中点在直线上时,它到直线的距离为0 . 2.两条平行线之间的距离公式 两条平行直线和间的距离. 【即学即练3】已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（       ） A．6 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【解析】由直线方程变形为：，由，解得，所以直线恒经过定点，故点到直线的距离是，故选：B. 【即学即练4】若直线与直线平行，则它们之间的距离是（       ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】由直线与直线平行，可得，解之得.则直线与直线间的距离为,故选：B 【即学即练5】已知点，直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点到直线的距离，当时，，当时，，恒有，于是得，综合得，所以点P到直线l的距离的取值范围是.故选：C 知识点03 求线段垂直平分线方程 已知,求线段的垂直平分线的方程的方法如下: 1. 利用两直线斜率之间关系及中点坐标公式 (1) 线段的中点的坐标为; (2) 当时,求直线的斜率; (3) 线段的垂直平分线的斜率; (4) 线段的垂直平分线的方程为 2.利用线段垂直平分线的性质及两点间距离公式. 取线段的垂直平分线上的任一点,则,即 ,整理后就得到直线的方程. 【即学即练6】已知，则线段AB的垂直平分线的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，所以．即：，化简得：．故选：． 【即学即练7】已知两点,求线段的垂直平分线的方程. 【解析】解法一:线段的中点的坐标为;直线的斜率,则线段垂直平分线的斜率, 所以线段的垂直平分线的方程为,即. 解法二: 取线段的垂直平分线上任一点, 设,则, 即 , 整理得,这就是线段的垂直平分线的方程. 知识点04 点与直线的对称问题 1.点关于直线的对称问题 点关于点的对称点的问题,主要依据两项原则: ①是线段的中点. ②与点所在的直线相互垂直. 设点关于直线的对称点为,则可求 【即学即练8】点关于直线的对称点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为.故选：A. 【即学即练9】 已知在中，其中，的平分线所在的直线方程为，则A点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知点B关于直线的对称点在直线上，设为，则，解得，即，则直线AC方程为，，即，联立，解得，即.故选：B. 2.直线关于点的对称问题 求直线关于点对称的直线的步骤: (1) 在上任取一点; (2) 求关于的对称点; (3) 将的坐标代人直线的方程,化简得所求的方程. 【即学即练10】直线关于点对称的直线方程是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设为所求直线上任意一点, 则点关于的对称点为,此点在直线 上,代人可得所求直线方程为.答案: D 【即学即练11】直线与直线关于原点对称，则的值是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则 ∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9