第04讲 两条直线的交点-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与方程 第04讲 两条直线的交点 ( 目标导航 ) 课程标准 重难点 1.能用解方程组的方法求两直线的交点 2.掌握两直线相交的条件 1.两条直线交点的求解 ( 知识精讲 ) 知识点01 两条直线的交点 设两直线,直线 方程组的解 一组 无数组 无解 直线和的公共点个数 一个 无数组 零点 直线和的位置关系 相交 重合 平行 注意: (1)将两直线方程联立解方程组, 依据解的个数判断两直线是否相交. 当方程组只有一解时, 两直线相交. (2)设,则与相交的条件是 (3)设两条直线,则与相交. 【即学即练1】 过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由解得，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：，即．故选：A． 【即学即练2】 经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为；故选：D 知识点02 经过两直线交点的直线方程 经过两直线的交点的直线方程为 (除直线), 其中是待定系数. 证明: 假设为直线的交点,直线 表示过与交点的直线. 【即学即练3】 已知两条直线 和 的交点为.求: (1) 过点与的直线方程; (2) 过点且与直线垂直的直线方程. 【解析】 设过直线和交点的直线方程为 (除直线,即 (1). (1) 把点代人方程(1), 化简得,解得.所以过两直线交点与的直线方程为 , 即. (2) 由题意得方程 (1) 表示的直线与直线垂直,则, 解得,所以所求直线的方程为,即. ( 能力拓展 ) ◆考点01 根据交点坐标求参数或取值范围 【典例1】直线 与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（       ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 【答案】C 【解析】 由直线 与直线互相垂直，可得 ，解得 或3， 当时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意； 当时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意， 故实数a的值为 ，故选:C 【典例2】设点，，直线l过点且与线段AB不相交，则l的斜率的取值范围是（       ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】C 【解析】 直线方程为，即，直线方程为，由，解得，由，得，此时直线与线段有公共点，所以直线与线段不相交时，或．故选：C． ◆考点02 多直线交点个问题 【典例3】 若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（       ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】 由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或.故选：C. 【典例4】 若三条直线，，将平面划分成6个部分，则实数的取值情况是（       ） A．只有唯一值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．无穷多个值 【答案】C 【解析】 若三条直线，，将平面划分成6个部分，则其中有两条直线互相平行，第三条直线和这两条平行线相交，此时或；或者三条直线经过同一个点，联立解得则点（2，2）在直线上，此时．综上，或或，故选：C． 【典例5】 若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（       ） A．或 B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点. ①若，则由，得. ②若，则由，得. ③若，则由，得. 当时，与三线重合，当时，平行. ④若三条直线交于一点，由解得将的交点的坐标代入的方程，解得（舍去）或.所以要使三条直线能构成三角形，需且.故选：D. ◆考点03 求经过两直线交点坐标的直线系方程 【典例6】 过两直线和的交点和原点的直线方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为，即. 【典例7】 经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 解：设直线方程为，即 令，得，令，得.由，得或. 所以直线方程为或.故选：C. 【典例8】 原点到直线的距离的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为可化为，所以直线过直线与直线交点，联立可得 所以直线过定点，当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，此时最大值为，故选：C. ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 一、单选题 1．过原点和直线与的交点的直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【