微专题 注意集合元素的互异性——2023届上海市高三数学一轮复习讲义

微专题 注意集合元素的互异性 学生版 学习笔记 知识梳理 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性； 典型例题 例1、若集合A中有三个元素x，x＋1，1，集合B中也有三个元素x，x2＋x，x2，且A＝B， 则实数x的值为________． 【提示】 【答案】 【解析】 【易错防范】 1、上面例题易由方程组求得x＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论； 2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合 元素的互异性； 例2、已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，则a＝(　　) A．±3，5 B．3，5 C．－3 D．5 【提示】 【答案】； 【解析】 【说明】已知集合中含参数时，要明确集合中的元素；(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到；学习笔记 方法归纳 解答集合的概念与表示问题的两个关注点 （1）当用描述法表示集合时，要注意集合中的元素表示的意义是什么． 集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)>0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)} 代表元素 方程f(x)＝0的根 不等式f(x)>0的解 函数y＝f(x)的自变量的取值 函数y＝f(x)的函数值 函数y＝f(x)图像上的点 （2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性；集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 巩固练习 1、设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}， Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 2、若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________. 3、已知a，b∈R，若＝，则a2 023＋b2 023＝________. 4、已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.学习笔记 5、已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__________． 6、已知集合A＝，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x＋y＝________. 7、已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________. 8、已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系①a≠2，②b＝2，③c≠0中有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________. 微专题 注意集合元素的互异性 教师版 学习笔记 知识梳理 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性； 典型例题 例1、若集合A中有三个元素x，x＋1，1，集合B中也有三个元素x，x2＋x，x2，且A＝B， 则实数x的值为________． 【提示】注意：明确集合中的元素与理解集合相等的定义； 【答案】－1 【解析】因为，A＝B， 所以，或 解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合． 所以，x＝－1； 【易错防范】 1、上面例题易由方程组求得x＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论； 2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合 元素的互异性； 例2、已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，则a＝(　　) A．±3，5 B．3，5 C．－3 D．5 【提示】注意“A∩B＝{9}”； 【答案】C； 【解析】易知a2＝9或2a－1＝9，所以，a＝±3或a＝5； 当a＝3时，则1－a＝a－5＝－2，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当a＝5时，则A∩B＝{9,0}，与题设条件A∩B＝{9}矛盾，舍去； 当a＝－3时，A＝{－7，9，0}，B＝{4，－8，9}，满足A∩B＝{9}，故a＝－3； 【说明】已