2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 5.4 反函数

第5章 函数的概念、性质及应用 5.4 反函数 用 质 学生版 学习笔记 【必修一】第5章 函数的概念、性质及应用 章 节 第5章 函数的概念、性质及应用 （课时：2+5+3+2+1） 5.1 函数 5.1. 1 函数 5.1. 2 函数的表示方法 5.2 函数的基本性质 5.2. 1 函数的奇偶性 5.2. 2 函数的单调性 5.2. 3 函数的最值 5.3 函数的应用 5.3. 1 函数关系的建立 5.3. 2 用函数观点求解方程与不等式 5.3. 3 用二分法求函数的零点 *5.4 反函数 5.4. 1 反函数的概念 5.4. 2 反函数的图像 本章将概括有关函数的一些比较重要的性质，并用严格的数学语言加以描述；函数是刻画世间万物之间联系的有力工具，借助于函数，可以更好地掌握事物的发展规律，从而深化人们的认识．函数概念的引入，使数学本身也经历了从常量到变量、从有限到无限的发展，从而逐步由初等数学走向高等数学；学好函数，对进一步学习以后的一些数学知识，如三角、微积分等，都是非常必要的； 知识梳理 学习笔记 【知识要点】 1、反函数 对于函数，记其值域为；如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，且满足；那么得到的关于的函数叫做的反函数，记作，； 由于习惯上，自变量常用表示，而函数值常用表示，因此把该函数改写为； 2、命题 在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P’(b,a)关于直线y=x对称； 3、互为反函数的图像性质 互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称； 【注意】互为反函数的两个函数的关系： ①从函数角度看：若函数有反函数，则的反函数是，即和互为反函数。反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域； ②从函数图像看：原函数和反函数图像关于对称； ③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性； ④若点在图像上，则必在图像上； ⑤已知，求，可利用，从中求出，即是. 【重要结论】 （1）定义域上的单调函数必有反函数； （2）奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； （3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 学习笔记 典型例题 例1、思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 指数函数 (，且)与对数函数 (，且))互为反函数，它们的定义域与值域正好互换；（ ） ②函数与y＝的函数图象关于y＝x对称；（ ） ③偶函数一定不存在反函数；（ ） ④若函数和其反函数的图像存在交点，则交点必定在直线上；（ ） ⑤函数和其反函数的图象的交点可能有无数个；（ ） 【提示】； 【答案】； 【解析】； 例2、已知函数； （1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域； （2）判断并证明的单调性； 例3、若是方程的解，是方程的解，则等于（ ） A． B． C． D． 例4、若函数的图像过点，则的图像经过点 例5、判断下列函数是否存在反函数？如存在，求出它的反函数；若不存在，请说明理由. （1）；（2） 例6、已知，求：；学习笔记 例7、设，其中常数； （1）设，，求函数()的反函数； （2）求证：当且仅当时，函数为奇函数； 例8、已知； （1）求它的反函数； （2）若函数的图像关于直线对称，求的值； （3）若，求的值。 学习笔记 方法归纳 1、求反函数的步骤 （1）明确原函数的定义域；（2）原函数的值域；（3）解关于的方程，得；（4）交换与.得到；标明反函数的定义域，即（2）中求出的值域.； 2、原函数与反函数的图像的关系 命题：在平面直角坐标系中，点与点关于直线对称； 性质：互为反函数的两函数的图像关于直线对称； 3、有关反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域； （2）在定义域上严格单调的函数存在反函数； （3）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如：； （4）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称；若点在的图像上，则点必在图像上； （5）一般地，偶函数不存在反函数（除外，其中为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （6）与互为反函数，设定义域为，值域为，则有, ； （6）如果函数的图像关于直线对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）与图像若有公共点，并非一定在上； 例如：与有两个公共点与关于对称。学习笔记 巩固练习 1、函数 的反函数为（ ） A. B. C. D. 2、函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）] A. B. C. D. 3、函数的反函数为___________ 4、已知，则=