5.4.2 反函数的图像（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

第5章函数的概念、性质与应用 沪教版(2020)必修第一册·高一 5.4.2 反函数的图像 章节导读 学 习 目 标 1 2 知道函数与其反函数的图像之间的对称关系，并理解形成这种对称关系的原因. 能画出函数的图像. 3 能利用反函数的性质解决实际问题. 情景引入 函数y=1.8x+32 与函数 互为反函数. 情景引入 函数y=1.8x+32 与函数 互为反函数 y=ax与y=logax互为反函数 y=x y=x 点(x0,y0)关于y=x的对称点是(y0,x0). 新知探究 命题 在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P'(b,a)关于直线y=x成轴对称. 分析 当点P与点P'重合，且在直线y=x上，结论成立. 当a≠b时，点P与点P'是不重合的两点. 问题1 “点P(a,b)与点P′(b,a)关于直线y=x成轴对称”，即线段PP′的垂直平分线是直线y=x，请说出初中教材中与线段的垂直平分线有关的一个定理及其逆定理. 定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两 个端点的距离相等. 逆定理和一条线段两个端点距离 相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 组成线段PP'的垂直平分线的所有点Q和P、P'两 点的距离都相等，即.反之，和P、P'两点 距离相等的所有点Q组成线段PP'的垂直平分线. Q 新知探究 命题 在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P'(b,a)关于直线y=x成轴对称. 分析 当点P与点P'重合，且在直线y=x上，结论成立. 当a≠b时，点P与点P'是不重合的两点. 问题2 如何用集合语言表示“线段PP'的垂直 平分线上的所有点Q”？ Q 如果设点Q的坐标为(x,y),那么线段PP'的垂直平分线即点集{Q(x,y)∣}. 新知探究 命题 在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P'(b,a)关于直线y=x成轴对称. 分析 当点P与点P'重合，且在直线y=x上，结论成立. 当a≠b时，点P与点P'是不重合的两点,要证它们关于直线y=x成轴对称，即证直线y=x是线段PP'的垂直平分线. Q 线段PP'的垂直平分线即点集{Q(x,y)∣}. 由两点(x1,y1)及(x2,y2)之间的距离公式,该集合也可以表示为 {Q(x,y)∣}. 新知探究 命题 在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P'(b,a)关于直线y=x成轴对称. 分析 当点P与点P'重合，且在直线y=x上，结论成立. 当a≠b时，点P与点P'是不重合的两点,要证它们关于直线y=x成轴对称，即证直线y=x是线段PP'的垂直平分线. Q 线段PP'的垂直平分线即点集{Q(x,y)∣}. 由两点(x1,y1)及(x2,y2)之间的距离公式,该集合也可以表示为 {Q(x,y)∣}. 因为a≠b，故该集合为. 因此，线段PP'的垂直平分线是直线y=x. 综上所述，点P(a,b)与点P'(b,a)关于直线y=x成轴对称. 新知探究 反函数的图像 y=x 在同一坐标系中，指数函数y=ax的图像与对数函数y=logax的图像关于直线y=x成轴对称. 互为反函数的两个函数的图像是否关于直线y=x成轴对称？ 新知探究 反函数的图像 证明：互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x成轴对称. 问题3 如何证明两个函数的图像关于直线y=x成轴对称？ 只需要证明每一个函数图像上任意一点关于直线y=x对称的点在另一个函数的图像上. 问题4 如何利用“两个函数互为反函数”来完成证明？ 如果函数y=f(x)，x∈D有反函数y=f-1(x)，x∈f(D), 那么函数y=f-1(x)，x∈f(D)的反函数就是y=f(x)，x∈D. 也就是说，y=f(x)及y=f-1(x)是互为反函数的. 只需证明原来函数图像上的任意一点在其反函数的图像上，反之，则是同样的理由. 新知探究 反函数的图像 证明：互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x成轴对称. 问题5 如何转化为代数问题进行证明？ 对于函数y=f(x)，x∈D,如果x0是定义域D中的实数，并且f(x0)=y0, 那么点P(x0,y0)一定在该函数的图像上；反之，如果点P(x0,y0)在该函 数的图像上，那么必有x0∈D，且f(x0)=y0. 如果y=f-1(x)=y，那么f(y)=x. 新知探究 反函数的图像 证明：互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x成轴对称. 证明 如果函数y=f(x)，x∈D有反函数y=f-1(x)，x∈f(D), 若P(a,b)为函数y=f(x)图像上任取的一点，则必有a∈D， 且b=f(a). 这样b=f(a)∈f(D)，且根据反函数的定义，a=f-1(b)，因此P(a,b)关于直线y=x的对称点P'(b,a)在函数y=f-1(x)的图像上. 另一方面，因为y=f-1(x)的反函数是y=f(x)，同样可得，y=f-1(x)的图像 上任一点Q关于直线y=x的对称点Q'在函数y=f(x)的图像上. 新知探究 反函数的图像 性质：互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x成轴对称. 问题6 能否从反函数的定义中解释互为反函数的两个函数的图像为什么关于直线y=x成轴对称？ 反函数的定义 对于函数y=f(x)，x∈D,记其值域为f(D).如果对f(D)中的任意给定的一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x),那么得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数(inverse function),记作x=f-1(y),y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为y=f-1(x),x∈f(D). 自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为y=f-1(x),x∈f(D). 典例分析 例1 求函数y=x3的反函数，并在同一坐标系中作出函数y=x3和它的反函数的图像. 解 y=x³的值域是R, 解关于x的方程y=x³,得x=, 因此其反函数为y=. 求一个函数y=f(x)，x∈D的反函数的步骤： ①求出反函数的定义域（即原来函数的值域）； ②解方程y=f(x)，求出x关于y的函数表达式； ③交换x与y（写为y=f-1(x),x∈f(D)）. 思考 “如果一个幂函数存在反函数，那么其反函数也是幂函数.”是否正确，请说明理由. 典例分析 例2 设函数y=f(x),x∈R的反函数是y=f-1(x),x∈f(R). (1)如果y=f(x)是奇函数，那么y=f-1(x)的奇偶性如何? (2)如果y=f(x)在定义域上是严格增函数，那么y=f-1(x)的单调性如何? 解(1)在函数y=f-1(x)的定义域f(R)中任取一个数x,因y=f-1(x)的定义域是y=f(x)的值域，故存在y=f(x)的定义域R中的一个数t,使得x=f(t). 因y=f(x)是奇函数，故f(-t)=-f(t)=-x∈f(R),因此-x也在y=f-1(x)的定义域中. 由于f-1(x)=t,且f-1(-x)=-t,它们互为相反数，因此y=f-1(x)是奇函数. 典例分析 例2 设函数y=f(x),x∈R的反函数是y=f-1(x),x∈f(R). (1)如果y=f(x)是奇函数，那么y=f-1(x)的奇偶性如何? (2)如果y=f(x)在定义域上是严格增函数，那么y=f-1(x)的单调性如何? (2)对于f(R)中的任意两个实数x1、x2,设t₁=f-1(x1),t₂=f-1(x2), 即f(t₁)=x1,f(t₂)=x2.x₁<x₂也就是f(t₁)<f(t₂). 如果t₁≥t₂,根据f的单调性得f(t₁)≥f(t₂),与f(t₁)<f(t₂)矛盾，因此必有t₁<t₂, 即f-1(x1)<f-1(x2).这说明y=f-1(x)是一个定义域f(R)上的严格增函数. 反函数的性质 题型一 题型探究 反函数的性质 题型一 题型探究 反函数的性质 题型一 题型探究 反函数的性质 题型一 题型探究 反函数的性质 题型一 题型探究 反函数的性质 题型一 题型探究 反函数的图像 题型二 题型探究 反函数的图像 题型二 题型探究 反函数的图像 题型二 题型探究 课堂小结 逻辑推理 数学抽象 数学建模 反函数的图像 直观想象 性质 互为反函数的两函数的图像关于直线y=x成轴对称. 反函数的定义 逻辑推理 感谢聆听! $