2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 5.2函数的基本性

第5章 函数的概念、性质及应用 5.2函数的基本性质 学生版 学习笔记 【必修一】第5章 函数的概念、性质及应用 章 节 第5章 函数的概念、性质及应用 （课时：2+5+3+2+1） 5.1 函数 5.1. 1 函数 5.1. 2 函数的表示方法 5.2 函数的基本性质 5.2. 1 函数的奇偶性 5.2. 2 函数的单调性 5.2. 3 函数的最值 5.3 函数的应用 5.3. 1 函数关系的建立 5.3. 2 用函数观点求解方程与不等式 5.3. 3 用二分法求函数的零点 *5.4 反函数 5.4. 1 反函数的概念 5.4. 2 反函数的图像 本章将概括有关函数的一些比较重要的性质，并用严格的数学语言加以描述；函数是刻画世间万物之间联系的有力工具，借助于函数，可以更好地掌握事物的发展规律，从而深化人们的认识．函数概念的引入，使数学本身也经历了从常量到变量、从有限到无限的发展，从而逐步由初等数学走向高等数学；学好函数，对进一步学习以后的一些数学知识，如三角、微积分等，都是非常必要的； 知识梳理 学习笔记 【知识要点】 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 【注意】1、如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；2、如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)；3、奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 4、对称性的三个常用结论 （1）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. （2）若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. （3）若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.； 5、深入理解函数的奇偶性要注意以下四点： （1）函数的单调性是函数“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有（或），才能说是奇（或偶）函数； （2）函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称.换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性，例如，函数在区间上是偶函数，但在区间是无奇偶性可言； （3）若奇函数在原点处有定义，则必有； （4）若，且，则既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即是关于原点对称的非空实数集； 【特别注意】函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势，奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质； 6、 奇偶函数的图像特征学习笔记 （1）奇函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）偶函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数； （3）应用： ①如果知道一个函数是奇函数或偶函数，那么只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图像，就可以推出这个函数在另一部分上的性质和图像； ②如果为奇函数，点在其图像上，那么点，即点也在的图像上； ③如果为偶函数，点在其图像上，那么点，即点也在的图像上； 2、函数的周期性 （1）周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期； （2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期； 3、函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1) ≤f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1) ≥f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 （2）严格单调函数的定义 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集；对于区间I上的