2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 5.1函数

第5章 函数的概念、性质及应用 5.1函数 学生版 学习笔记 【必修一】第5章 函数的概念、性质及应用 章 节 第5章 函数的概念、性质及应用 （课时：2+5+3+2+1） 5.1 函数 5.1. 1 函数 5.1. 2 函数的表示方法 5.2 函数的基本性质 5.2. 1 函数的奇偶性 5.2. 2 函数的单调性 5.2. 3 函数的最值 5.3 函数的应用 5.3. 1 函数关系的建立 5.3. 2 用函数观点求解方程与不等式 5.3. 3 用二分法求函数的零点 *5.4 反函数 5.4. 1 反函数的概念 5.4. 2 反函数的图像 本章将概括有关函数的一些比较重要的性质，并用严格的数学语言加以描述；函数是刻画世间万物之间联系的有力工具，借助于函数，可以更好地掌握事物的发展规律，从而深化人们的认识．函数概念的引入，使数学本身也经历了从常量到变量、从有限到无限的发展，从而逐步由初等数学走向高等数学；学好函数，对进一步学习以后的一些数学知识，如三角、微积分等，都是非常必要的； 知识梳理 学习笔记 【知识要点】 1、函数的概念 一般地，设D是非空的实数集，如果按照某种确定对应关系f，使得集合D中任意给定的x，都有唯一确定的实数y与之对应，就称这种对应关系f为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D； 2、函数的定义域、值域 对于函数y＝f(x)，x∈D；其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 对于自变量x0，由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)；所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 3、两个函数相同 如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.（同一个对应法则可能有不同的表述形式）例如：与； 4、函数的表示方法 （1）用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； （2）对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像；这种表示函数的方法方法叫做图像法； （3）通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法叫做列表法； 5、分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数；分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数； 【说明】（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数；（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数； 【拓展】6、复合函数学习笔记 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数； 【重要结论】 1、直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图像至多有1个交点. 2、注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}. (5)正切函数y＝tan x的定义域为.典型例题 例1、思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 函数y＝1与y＝x0是同一函数；（ ） ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；（ ） ③若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数；（ ） ④若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数；（ ） ⑤函数就是非空实数集合到非空实数集合的对应关系；（ ） 【提示】； 【答案】； 【解析】 例2、下列集合到集合在对应关系下是函数的是 （ ） A. ，中的数平方 B. ，中的数开方 C. ，中的数取倒数 D. ，中的数取绝对值 例3、求函数的定义域与值域；学习笔记 例4、下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1）；； （2）；； （3）；； （4）；； 例5、已知，求. 例6、设两地相距260，汽车以的速度从A地到B地，在B地停留后，再以的速度返回到A地．试将汽车离开A地后行走的路程表示为时间的函数； 例7、（1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； （2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；