2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 4.1 幂函数

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 4.1 幂函数 学生版 学习笔记 【必修一】第4章 幂函数、指数函数与对数函数 章 节 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 （课时：2+3+3+1） 4.1 幂函数 4.1. 1 幂函数的定义与图像 4.1. 2 幂函数的性质 4.2 指数函数 4.2. 1 指数函数的定义与图像 4.2. 2 指数函数的性质 4.3 对数函数 4.3. 1 对数函数的定义与图像 4.3. 2 对数函数的性质 初中已经学过一些基本的初等函数，如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数 等．函数是描述客观世界中变量之间相互关系和变化规律的重要语言和工具．例如，一次函 数可描述匀速运动，二次函数可描述匀加速运动等； 本章我们将在上一章的基础上，通过固定等式的三个量、、中的一个量， 研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数———幂函数、指数函数和对数函数．要学会用函数图像和代数运算的方法研究这些函数的性质，了解它们各自蕴含的规律．同时，要通过建立数学模型，解决一些简单的实际问题，并体会这些函数在解决有关实际问题中的作用．这些都将为下一章“函数的概念、性质及应用”的学习奠定基础． 知识梳理 学习笔记 【知识要点】 1、幂函数的定义 当指数固定，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数； 2、描点法 列表----描点----连线； 3、函数图像关于原点对称 在平面坐标系中，关于原点对称的点的纵坐标、横坐标均互为相反数； 点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为P′(-a，-b)； 4、函数图像关于数轴对称 函数图像关于y轴对称：在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为P′(-a， b)； 函数图像关于x轴对称（拓展）：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为P′(a，-b)； 5、幂函数的严格增（减）性 在区间上，幂函数的函数值 随着的严格增大（减少）而严格增大（减少）， 此时称幂函数在区间上是严格增（减）函数； 6、幂函数图像通过定点：； 7、函数图像的平移变换 函数图像平移变换的规律： y=f(x)的图像向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)或y=f(x-a)的图像； y=f(x)的图像向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x) +k或y=f(x) -k的图像； 【重要结论】 1、幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； 2、幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. 学习笔记 典型例题 例1、思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 函数是幂函数；（ ） ②当时，幂函数在上是增函数；（ ） ③当是偶数时，幂函数 (m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数；（ ） ④y＝x0的图像是一条直线；（ ） ⑤幂函数的图像不可能出现在第四象限；（ ） 【提示】； 【答案】 【答案】 例2、已知函数是幂函数，且，则的解析式为 ________ 例3、作出下列函数的图像：（1）；（2）；（3）； 例4、已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上； （1）写出函数g(x)的解析式； （2）当x∈[0，1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围； 例5、已知函数； （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）画出函数的图像； 例6、已知，若，则下列各式中正确的是（ ）学习笔记 A． B． C． D． 例7、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则（ ） A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1，0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 例8、函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与的图像关于轴对称，则_________ 【体验真题】 1、(2018·上海，7，5分)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ . 2、（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数．方法归纳 1、明确1个概念——幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 2、掌握常见的五种幂函数的图像与幂函数的性质 （1）常见的五种幂函数的图象 （2）幂