2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 4.2指数函数

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 4.2指数函数 学生版 学习笔记 【必修一】第4章 幂函数、指数函数与对数函数 章 节 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 （课时：2+3+3+1） 4.1 幂函数 4.1. 1 幂函数的定义与图像 4.1. 2 幂函数的性质 4.2 指数函数 4.2. 1 指数函数的定义与图像 4.2. 2 指数函数的性质 4.3 对数函数 4.3. 1 对数函数的定义与图像 4.3. 2 对数函数的性质 初中已经学过一些基本的初等函数，如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数 等．函数是描述客观世界中变量之间相互关系和变化规律的重要语言和工具．例如，一次函 数可描述匀速运动，二次函数可描述匀加速运动等； 本章我们将在上一章的基础上，通过固定等式的三个量、、中的一个量， 研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数———幂函数、指数函数和对数函数．要学会用函数图像和代数运算的方法研究这些函数的性质，了解它们各自蕴含的规律．同时，要通过建立数学模型，解决一些简单的实际问题，并体会这些函数在解决有关实际问题中的作用．这些都将为下一章“函数的概念、性质及应用”的学习奠定基础． 知识梳理 学习笔记 【知识要点】 1、指数函数的定义 当底数固定，且，时，等式，确定了变量随变量变化规律，称为底为的指数函数。 2、指数函数的性质 （1）定义域为R，函数值为恒正；（2）当时，； 3、指数函数的单调性 （3）当时，指数函数在R上是严格增函数； 当时，指数函数在R上是严格减函数； 4、指数函数的图像特征 a>1 0<a<1 （1）函数图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交； （2）过定点 （3）由左至右图像上升 （4）由左至右图像下降 【重要结论】 1、画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2、指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关， 要特别注意应分a>1与0<a<1来研究； 3、在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.典型例题 例1、思考辨析(在括号内打“√”或“×”) ①函数是指数函数；（ ） ②函数的值域是；（ ） ③函数与都不是指数函数；（ ） ④若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n；（ ）学习笔记 ⑤函数y＝2－x在R上为单调增函数；（ ） 【提示】； 【答案】； 【解析】； 例2、若函数是指数函数，则（ ） A． B． C．或 D．且 例3、求函数的定义域、值域 例4、已知函数f(x)＝ax2－4x＋3. （1）若a＝－1，求f(x)的单调区间； （2）若f(x)的最大值为3，求a的值． 例5、函数的图像恒过定点__________. 　 【体验真题】 1、(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 2、(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)学习笔记 A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 方法归纳 1、牢记3个性质——指数函数的图像与性质 (1)当底数a大小不确定时，必须分a>1或0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质； (2)当a>1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0<a<1时，x的值越大，函数的图象越接近x轴； (3)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都只经过第一、第二象限； 2、明确1种思路——解决指数函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 3、指数方程(不等式)的求解：主要利用指数函数的单调性进行转化. 4、涉及指数函数的综合问题：首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示　在研