2023届上海市高三数学一轮复习讲义：2.1等式与不等式的性质

第2章 等式与不等式 2.1 等式与不等式的性质 学生版 学习笔记 章 节 第2章 等式与不等式（4+5+3+2=14） 2.1 等式与不等式的性质 2.1.1 等式的性质与方程的解集 2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系 2.1.3 不等式的性质 2.2 不等式的求解 2.2. 1 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 2.2. 2 一元二次不等式的求解 2.2. 3 分式不等式的求解 2.2. 4 含绝对值不等式的求解 2.3 基本不等式及其应用 2.3. 1 平均值不等式及其应用 2.3. 2 三角不等式 数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式和不等式则是表示相应数量关系的基本工具；等式与不等式的知识，在日常生活中也有着广泛的应用； 教材通过类比方法，揭示有关等式与不等式的性质，并借助集合和逻辑的语言，求解和证明一些基本的不等式；在学习与复习过程中，要注意等式与不等式之间的共性和差异，掌握等价变形的方法，并特别注意不等式取到等号的条件； 学习笔记 知识梳理 【知识要点】 1、等式的定义 用等号“＝”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式； 2、等式的性质 用“=”把两个表达式连接起来，所得式子称为：等式； （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“”； 3、恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立， 则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”； 4、方程的解集 （1）含有未知数的等式称为：方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 【注意】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集； 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。 5、一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为；学习笔记 （3）当Δ<0时，方程的解集为； 6、一元二次方程根与系数的关系【韦达定理】 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 7、比较实数a，b的大小 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 【注意】符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推； 8、不等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则a>c－b； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么学习笔记 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边；（2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向；（3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘， 所得到的不等式与原不等式同向； 9、不等式证明方法【拓展】 （1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法最重要的推理形式为p⇒q，其中P是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论；（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p⇐q，其中P是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件；（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾， 最后得出假设不成立.