2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 2.2不等式的求解

第2章 等式与不等式 2.2不等式的求解 学生版 学习笔记 知识梳理 【知识要点】 1、不等式的解集与不等式组的解集 （1）在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值，称为该不等式的解； （2）一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； （3）求不等式解集的过程称为不等式求解或解不等式； （4）将含有相同未知数的多个不等式联立起来，就得到不等式组； （5）求不等式组中所有不等式的解集的交集称，称为解不等式组； 【说明】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 2、一元一次不等式 设为实数，求关于的不等式的解集合； 当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：； 3、一元二次不等式的概念 设，，为实数，且，形如（或）的不等式， 称为一元二次不等式 4、一元二次不等式的解集 对于，一元二次不等式（或），其对应的二次函数开口向上，其对应的一元二次方程为，我们可以得到以下结论： 判别式 的图像 的根 两不等实根 两相等实根 无实根 的解集 的解集 的解集 学习笔记 的解集 而对于，一元二次不等式（或），只要在原不等式两边同乘以，并改变不等号的方向，就可以转化为的情况. 5、分式不等式的求解 分式不等式可以通过移项通分后转化为以下形式，继而转化为相应的等价形式： 分式不等式 等价形式 在解分式不等式的时候，一定要注意分母不为. 6、含绝对值不等式的求解 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【拓展】二次函数的区间最值 一元二次函数在给定区间上的值域（以为例）： 设， 1、当时，的值域为； 2、当时, ，； 此时根据二次函数的轴对称性，两个区间端点，距离对称轴较远的那一个端点函数值更大， 即： （1）当时，； （2）当时，；学习笔记 3. 当时，的值域为. 基本思路： 判断二次函数的对称轴与给定区间的位置关系； 判断二次函数在给定区间上的单调性； 确定二次函数在给定区间的最值； 【重要结论】 1、绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为：(－∞，－a)∪(a，＋∞)； |x|<a(a>0)的解集为：(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2、解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 3、不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图像决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件． 4、二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根． 5、简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a>1，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；若0<a<1，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． (2)若a>1，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0；若0<a<1，logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)． 典型例题 例1、思考辨析(在括号内打“√”或“×”) ①≥0等价于(x－a)(x－b)≥0；（ ） ②若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0；（ ） ③不等式x2≤a的解集为[－，]；（ ） ④若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R；（ ） 例2、解下列不等式：（1）－2x2＋x＋3<0；（2）x2－2x＋2>0. 例3、解下列关于x的不等式：（1）ax2－(a＋1)x＋1<0(a<0)；（2）x2－2ax＋2≤0(a∈R)；学习笔记 【拓展1】把本例(1)中a<0改为a>0呢？ 【拓展2】若再改为a∈R呢？再增加a＝0情况． 例4、若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是（ ） A．　　B． C．(1，＋∞)　　 D． 例5、（1）对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)学习笔记 A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2] （2）已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取