2023届上海市高三数学一轮复习讲义：必修第一册 2.3基本不等式及其应用

第2章 等式与不等式 2.3基本不等式及其应用 学生版 学习笔记 知识梳理 【知识要点】 1、算术平均值与几何平均值 对于两个正数，，称称为，的算术平均值；并称称为，的几何平均值； 2、定理（平均值不等式） 两个正数算术平均值大于等于它们的几何平均值； 即对于任意的正数，，有，且等号当且仅当时成立 3、定理 对于任意的实数，，有当且仅当时等号成立. 【拓展】平均值不等式的拓展 1、三元算术-几何平均值不等式 对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立. 2、平均值不等式 平均值不等式：对于任意的正数，有， 且等号当且仅当时成立. 其中，分别叫做这两个数的平方平均值和调和平均值. 4、平均值不等式与最值 均值不等式与最值：已知，，则 ①若 (和为定值)，则当时，积取得最大值； ②若(积为定值)，则当时，和取得最小值； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值； 【注意】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合均值不等式成立的前提条件，，；学习笔记 ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立； 以上三点缺一不可． 5、定理（三角不等式） 如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 【教材解读】 一、三角不等式的理解 三角不等式是本教材的新增内容，与平均值不等式、常用不等式和三角不等式统称为基本不等式；三角不等式不仅是一个常用的基本不等式，而且，理解其推导与变形非常有必要；同时，其在求简单的最大或最小值和证明其他的一些不等式方面有广泛应用；并且，它在以后学习向量、复数，以及高等数学中都会出现，有着十分重要的意义，增加这部分内容是十分必要的。 例1、定理（三角不等式）：对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 变式1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式5：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；学习笔记 变式6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式7：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【重要结论】 常用的几个重要不等式 （1）a＋b≥2(a>0，b>0)；(当且仅当a＝b时取等号) ； （2）ab≤2(a，b∈R)；(当且仅当a＝b时取等号) ； （3）2≤(a，b∈R)；(当且仅当a＝b时取等号) ； （4）＋≥2(a，b同号)；(当且仅当a＝b时取等号)； （5）≤≤≤(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)；典型例题 例1、思考辨析(在括号内打“√”或“×”) ①不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的；（ ） ②函数y＝x＋的最小值是2；（ ） ③函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4；（ ） ④“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件；（ ） 例2、（1）已知0<x<1，则x(3－2x)的最大值为 学习笔记 （2）已知x>，则f(x)＝4x－2＋的最小值为 （3）若0<x<，则y＝x的最大值为 例3、（1）已知正数x，y满足x＋2y＝4，则＋最小值为 ； （2）已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值为 . 例4、已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为 例5、某化工厂为处理含有某种有害杂质的工业废水，需制造一个高为1米的无盖长方体过滤装置箱(如图)．废水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，宽度为b米，已知流出的废水中该种有害杂质的质量分数与lg(a＋b)成正比，现有制箱材料45平方米，则当a，b各为 米时，经沉淀后流出的水中该种有害杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)． 【真题体验】学习笔记 1、(2019·天津，13)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为 2、(2020·江苏，12，5分)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是 【有关三角不等式的专题】 题型一、应用定理（三角不等式）的证明 例1、已知、、为实数，求证：； 例2、已知在直角坐标平面上的三点A(x1，y1)，B(x2，y2) ，C(x3，y3)，记 d(A，B)＝|x2－x1|＋|y2－y1|， d(B，C)＝|x3－x2|＋|y3－y2|， d(C，A)＝|x1－