1.1集合初步 讲义——2023届上海市高三数学一轮复习

第1章 集合与逻辑 1.1集合初步 学生版 学习笔记 【必修一】第1章 集合与逻辑 章 节 第1章 集合与逻辑(课时：4+3+1=8) 1.1集合初步 1.1.1集合 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合之间的关系 1.1.4 集合的运算 1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题 1.2.2 充分条件和必要条件 1.2.3 反证法 数学语言和自然语言的重要区别在于数学语言更加精确，不容易产生歧义；集合是现代数学语言的重要组成部分；使用集合的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对象，更好地描述所研究的对象之间的关系；数学作为其他学科的基础和工具，其内涵及语言都是按照逻辑的方式来组织的；根据正确的前提，按照逻辑的推理，总是能够得到正确的结论； 在数学语言及其组织方式方面，有一些公认的特殊约定，努力学习并遵循这些约定，能够更好地在数学领域里和他人开展交流，对进一步的学习和研究都非常有益； 集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础；常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具；在“集合与逻辑”的学习中，同学们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法；并学习用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，为高中数学学习做准备； 学习笔记 知识梳理 【知识要点】 1.1.1 集合集合的第一种表示法 1、集合的意义与表示 （1）概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称 ； 集合通常用大写字母 …来表示； （2）集合所含的各个对象叫做该集合的 （element），元素通常用小写 字母 …来表示； （3）如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”； 如果a不是集合A的元素，就记作aA，读作“a不属于A”； 2、两个集合相等 如果组成两个集合A与B的元素完全相同，就称这两个集合相等， 记作： ； 3、按集合的元素“个数”进行分类 元素个数为有限的集合称为 ；， 否则就称为 ； 4、常见的数集及表示符号 数集 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 5、空集 不含有任何元素的集合称为 ，记作： ； 引进空集是有好处的：如：方程没有实数解， 我们就说它的解组成的集合是空集；又如当两条直线平行时，它们没有公共点， 就可说这两条直线的公共点组成的集合是空集； 所有空集都是相等的； 在以后学习交集时，我们还会体会到引入空集的必要性； 1.1.2 集合的表示方法集合的第二种表示法 6、集合的表示 （1）列举法：将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法； 用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；学习笔记 （2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法； 一般形式为A＝{x| x满足性质p}，其中x叫做代表元素，p是各元素的共同特征； 【提醒】 （1）方程的解组成的集合可以表示为； （2）因为平面上经过点与的直线的方程为， 所以这条直线上的点的集合可以表示为； 7、集合中元素的特性： 确定性、互异性和无序性． 8、区间的概念及表示 （1）区间的定义及表示：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] （2）无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】关于无穷大的两点说明：（1）“∞”是一个符号，而不是一个数； （2）以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号； 1.1.3 集合之间的关系 9、集合之间的关系 （1）子集 （1）概念：对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素， 那么集合A称为集合B的子集（subset）； （2）记作：A⊆B（或B⊇A）； （3）读法：A包含于B（或“B包含A” ）； （4）文氏图表示： 【注意】1、“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B； 2、性质：A⊆A；规定：⊆A ； 3、集合的相等与子集的关系：学习笔记 （1）一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B 相等，记作A＝B，读作“A等于B”； （2）由集合相等以及