1.4.1一元二次函数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

4.1 一元二次函数 北师大版（2019）高中数学必修第一册 第一章 预备知识 第4节 一元二次函数与一元二次不等式 导入课题 新知讲授 典例剖析 课堂小结 在初中，我们学习了一元二次函数 ，认识这个函数的过程是从 (开始的，是由 简到繁的过程(如图). 一元二次函数在高中也是很重要很常见的一种函数，因此，今天我们要更加深入地学习这个 函数——一元二次函数. 一、一元二次函数 导入课题 1，一元二次函数的一般式：一元二次函数的一般形式为. 2，一元二次函数的顶点式：一元二次函数都可以通过配方化为 ，顶点为， 若设，，则有（顶点式），通常把一元二次函数的图象叫作抛物线. 新知探究 典例剖析 课堂小结 例如：一元二次函数通过配方可化为，其图象为开口向上， 以为对称轴，为顶点的抛物线. 3，一元二次函数的交点式：如果一元二次函数与轴有交点，则可运用十字相 乘法，将其写成交点式. 二、一元二次函数图像的变换规律 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 当时，向左平移个单位长度 当时，向右平移个单位长度 当时，向下平移个单位长度 当时，向上平移个单位长度 一元二次函数图像的变换规律 三、一元二次函数的性质 导入课题 一元二次函数的性质： (1)函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是 对称轴是直线. (2)当时，抛物线开口向上; 在区间上，函数值随自变量的增大而减小; 在区间上，函数值随自变量的增大而增大； 函数在处有最小值，记 作. 当时，抛物线开口向下; 在区间上，函数值随自变量的增大而增大; 在区间上，函数值随自变量的增大而减小； 函数在处有最大值，记 作. 新知探究 典例剖析 课堂小结 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 例1 已知一元二次函数. （1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； （2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值. 解： (1)配方，得 ，所以函数的图象可 由函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到. (2)由(1)可知，该函数的的对称轴为，其图象开口向上， 在区间上，函数值随自变量的增大而减小， 在区间上，函数值随自变量的增大而增大， 函数在处取得最小值3，即 教材P34例题 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 练习1：用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值. （1）; （2）. 解：(1)配方，得， 所以该函数的的对称轴为，其图象开口向上， 在区间上，函数值随自变量的增大而减小， 在区间上，函数值随自变量的增大而增大， 函数在处取得最小值，即 解：(2)配方，得， 所以该函数的的对称轴为，其图象开口向上， 在区间上，函数值随自变量的增大而增大， 在区间上，函数值随自变量的增大而减小， 函数在处取得最大值，即 教材P34练习 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 练习2：已知一元二次函数. （1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； （2）指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及最大值或最小值. 解：(1)配方，得， 所以函数的图象可由的图象向右平移4个单位长度， 再向上平移10个单位长度得到. (2)所以该函数的的对称轴为，其图象开口向下， 在区间上，函数值随自变量的增大而增大， 在区间上，函数值随自变量的增大而减小， 函数在处取得最大值，即 教材P34练习 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考1：设二次函数的图象顶点为，与轴的两个交点间的距离为6，求二次函数的函数式； 待定系数法 解： 因为二次函数的图象顶点为， 设函数为，即 抛物线与轴的交点的横坐标即方程的根， 设两根为则， 由韦达定理， ，得， 所以二次函数为. 思考交流：用待定系数法求一元二次函数的解析式 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考2：已知二次函数图象过点，图象向左平移2个单位后关于轴对称，向下平移1个单位 后与轴只有一个交点，求二次函数的函数式. 待定系数法 解：由题意，变换后的函数图象，关于轴对称，且与轴只有一个交点， 所以变换后的函数图象顶点就在原点 设此时的函数为，向上平移1个单位为， 再向右平移2个单位为， 所以原来的二次函数为， 又因为原来的二次函数的图象过点，所以将代入，得， 故所求二次函数为，即. 思考交