1.2 子集、全集、补集-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

1.2 子集、全集、补集 一、子集的概念与性质 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 【注意】 （1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系． 例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集； 同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． 2、子集的性质 （1）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. （2）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具有传递性。 （3）空集是任意一个集合的子集，∅⊆A 二、真子集的概念与性质 1、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 2、真子集的性质 （1）如果AB，BC，则AC. （2）空集是任何非空集合的真子集 三、补集的概念 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集， 那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. 2、补集 （1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作. （2）符号语言： （3）符号语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 四、集合相等 1、如果且，则. 2、如果，则且 五、有限集合的子集个数 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 六、韦恩图 在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。 【注意】 （1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 （2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。 题型一 子集与真子集个数问题 【例1】集合的非空真子集的个数（ ） A．16个 B．15个 C．14个 D．13个 【答案】C 【解析】集合有个元素， 则集合有个子集， 故集合的非空真子集的个数为.故选：C． 【变式1-1】已知则集合的子集的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以集合，所以集合的子集个数为个．故选：B． 【变式1-2】已知集合，则的子集个数为________ 【答案】8 【解析】由，得. 所以B中含有3个元素，集合的子集个数有． 【变式1-3】满足的集合 M 共有（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】C 【解析】由题可知集合 M 中必含元素a，且为的子集， 可按元素个数分类依次写出集合M为 ，，，，，，，共8个.故选：C. 【变式1-4】满足的集合共有______个． 【答案】7 【解析】， 满足条件的集合有：，,,,,, 共7个.故答案为7 【变式1-5】满足的集合M有______个. 【答案】7 【解析】由, 可以确定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一个, 因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：,,； 含有四个元素：,,； 含有五个元素：, 故满足题意的集合M共有7个.故答案为：7 题型二 集合之间的关系判断 【例2】下列关系中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以选项A，B，D都正确， C选项，集合与集合的关系不能用属于符号，所以C错误.故选：C 【变式2-1】设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且，即， 而， 所以为的子集，则.故选：A 【变式2-2】已知集合则的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以.故选：C． 【变式2-3】若集合，，则、、的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可知，集合、为奇数集，则， ，故.故选：A. 【变式2-4】已知集合，，，，求集合，，，之间的关系． 【答案】答案见解析 【解析】因为矩形、正方形、