专题06 平面向量及应用（亮点讲）-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（新高考专用）

【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习 专题06 平面向量及应用 知识回顾 一、向量的概念及表示 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量、平行，记作．规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，都有． 5．相等向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量、相等，则记作． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 7.向量的表示： （1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体与印刷体的不同．也可以用两个大写的字母表示向量：（首字母为向量的起点，尾字母为向量的终点） 二、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律： 结合律： 减法 求与的相反向量 -的和的运算叫做与的差 三角形法则 三、向量的数乘运算及其几何意义 1．定义：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λ，它的长度与方向规定如下： ①|λ|＝|λ|||； ②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： ①；②；③. 3.向量共线定理： 如果有一个实数，使，那么与是共线向量； 反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使. 4.三点共线的性质定理： (1)若平面上三点共线，则＝. (2)若平面上三点共线，为不同于的任意一点，则＝＋，且＝1. 【温馨提示】(1)如果两个向量起点相同，终点相同，那么这两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点． (2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．． (3)两个重要的结论： ①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 四、平面向量的基本定理及坐标表示： 1.平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2.平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础. 用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及中 点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 3.平面向量的坐标运算 1）平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2)平面向量的坐标表示: (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标． (2)若，则． 3）平面向量的坐标运算 (1)若，则； (2)若，则． (3)设，则，. 【温馨提示】 1.平面向量的坐标运算技巧：向量的坐标表示又是向量的代数表示，是向量数与形的完美结合.向量的坐标运算主要利用加、减、乘的运算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标. 比如：，则 2.注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息． 五、平面向量的数量积： 一）主要公式： 1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=. 若=(,),=(,)，则·=. 2.向量的模：若=，则||=. 3.两向量的夹角余弦值：. 4.向量垂直的等价条件：. 二）主要知识点： 1.两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角． （2） 夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时， 夹角θ＝180°.