专题10 二次函数（课堂讲义）-中考数学满分突破秒杀压轴题系列

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 10 二次函数 奇门三才 167 专题 10 二次函数 奇门三才 作为中考压轴并引领着中考走向巅峰的二次函数，我们似乎都习惯了解析法，习惯了在 2y ax bx c   支配下各种运算的恐惧．为了避免繁琐的运算，本章节我们将通过二次函数的一些特殊几何性质，站在另 外一个角度来审视一个不一样的抛物线，把很多计算问题化繁为简，从而走进高观点低运算的数学世界．那 么在本章开的开篇，我们先来介绍几个新的数学名词． 第一讲 关于蝶高蝶宽和蝶角 二次函数最初始的模型就是 2axy  ，我们知道 || a 越大，开口越小， || a 越小，开口越大，那么这个到 底如何界定呢？仅仅靠坐标去解释吗？ 图 10-1-1 图 10-1-2 如图 10-1-1所示：在二次函数 2axy  图像中，作 xAB // 轴交抛物线于 A、B两点， AB与 y轴交于点 C，我们把以抛物线顶点为等腰三角形顶点的OAB称为蝶形，令 mAB 2 ，这样的宽度叫做蝶宽， nOC  叫做蝶高，  OBAOAB ，则称作蝶角． 由 ma m nmanaxy ||tan|| 22   ①，由此可以得出蝶角正切值随着蝶宽的增大而增大，如图 10-1-2所示： 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 )2( )2( m m m m n n  ②，即抛物线上任意两点蝶高的比等于蝶宽的平方比； 2 1 2 1 tan tan n n m m    ③ 以上三个结论，都是能脱离直角坐标系而独立存在的，往往我们只关注了坐标，从而增加了计算难度． 我们再来分析一下顶点和交点的模型，如图 10-1-3 所示： D是抛物线顶点，当 ADB△ 是等边三角形 时，一定有 12| 4 4|360tantan 2 22    a bacaya D ；同理如图 10-1-4所示：当 ADB△ 是等腰直 角三角形时，一定有 4| 4 4|145tantan 2 22    a bacaya D ；这样能得出一个公式  2tan4 ④． 图 10-1-3 图 10-1-4 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 10 二次函数 奇门三才 168 【例 1】如图 10-1-5 所示的是山西大同北都桥的照片，桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的，从正 面观察该桥的上面部分是一条抛物线，如图 10-1-6，若 60AB ， 15OC ，以 AB所在直线为 x轴，抛 物线的顶点C在 y轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（ ） 图 10-1-5 图 10-1-6 A． 15 60 1 2  xy B． 15 60 1 2  xy C． 15 240 1 2  xy D． 15 240 1 2  xy 【解析】由于 2|| man  ，故 60 1 30 15|| 22  m na ，因为抛物线开口向下，所以 60 1 a ，且 15c ，故选 A． 【例 2】如图 10-1-7，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 nmxxy  22 与 x轴交于 A，B两点．若线段 AB的长度为 4，则顶点C到 x轴的距离为（ ） A． 6 B． 7 C．8 D． 9 图 10-1-7 图 10-1-8 【解析】如图 10-1-8，作 xCD  轴于点 D，易知 2m ， 2|| a ，故 8|| 2  man ，故选 C． 【例 3】吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图 10-1-9，大门的地面宽度为8米，两侧距 P地 面 4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6米，则校门的高为（精确到 1.0 米，水泥 建筑物厚度忽略不计）（ ） A． 2.9 米 B． 1.9 米 C．9米 D． 1.5 米 图 10-1-9 图 10-1-10 图 10-1-11 【解析】法一 如图 10-1-10，以大门的地面为 x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程 为 cbxaxy  2 ，又因为抛物线经过 )04( ， ， )04( ， ， )43( ， ， )43( ， 四个点，分别代入方程可得 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 10 二次函数 奇门三才 169            cba cba cba cba 394 394 4160 4160 ，解得 7 4 a ， 0b ， 7 64 c ，所以 7 64 7 4 2  xy ，当 0x 时， 1.9y 米．故选 B． 法二 如图 10-1-11所示，