专题9 面积问题（课堂讲义）-中考数学满分突破秒杀压轴题系列

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 9 面积问题 三分剑术 150 专题 9 面积问题 三分剑术 初中数学的平面几何占了各地中考数学的半壁江山，而在几何题中面积问题是高频考点，尤其是三角 形的面积，我们都知道三角形的面积等于底乘高的积的一半，但是在斜三角形中，一旦底与高不好表示， 我们会采用割补法的策略．特别地，在函数与几何的动点问题中，我们往往在动点处向坐标轴作平行线， 利用“铅锤法”求出面积的表达式，下面我们就来看看斜三角形面积的处理策略． 第一讲 水平宽与铅垂高问题 模型一 分割法与填补法 （1）分割法 如图 9-1-1 所示：过点 B作 x轴的平行线交 AC 于点 E，再作 xAD  轴于点 D，则一定有 BCDABDABC SSS △△△  ． （2）填补法 如图 9-1-2 所示：过点 A作 x轴的平行线交 y轴于点 E，再作 xAD  轴于点 D，则一定有 ACDOBCAEBAEODABC SSSSS △△△矩形△  ． 图 9-1-1 图 9-1-2 【证明】（1）三角形 ABC可以看作是由三角形 ABE和三角形 BCE 组成，易证 BCEABEABC SSS △△△  ． （2）把 ABC△ 补成一个矩形减去三个直角三角形，易证 ACDOBCAEBAEODABC SSSSS △△△矩形△  ． 注意 在求三角形或者多边形面积时，割补法是最常用的方法，无论分割还是填补都能起到异曲同工之 妙，但有时候题目条件的局限性，需要合理地选择出分割还是填补，我们要灵活地去选择方法． 【例 1】（2019•沈阳中考）如图 9-1-3，正比例函数 1 1y k x 的图象与反比例函数 22 ( 0) ky x x   的图象相交 于点 ( 3 2 3)A ， ，点 B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是 3，连接OB， AB，则 AOB△ 的面积 是 ． 图 9-1-3 图 9-1-4 【解析】（1）因为正比例函数 1 1y k x 的图象与反比例函数 22 ( 0) ky x x   的图象相交于点 ( 3 , 2 3)A ，所 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 9 面积问题 三分剑术 151 以 12 3 3k ， 22 3 3 k  ，所以 1 2k  ， 2 6k  ，所以正比例函数为 2y x ，反比例函数为 6y x  ，如图 9-1-4， 过点 B 作 / /BD x轴交OA于点 D，因为点 B 是反比例函数图象上一点，且 3Bx ，所以 6 2 3 y   ，所以 (3 2)B ， ，所以 (1 2)D ， ，所以 3 1 2BD    ．所以 1 12 (2 3 2) 2 2 2 3 2 2AOB ABD OBD S S S         △ △ △ ， 故答案为 2 3． 【例 2】（2020•南海二模）如图 9-1-5所示，在矩形 ABCD中， 8BA cm ， 4BC cm ，点 E是CD上的中 点，P、Q均以1 /cm s的速度在矩形 ABCD边上匀速运动，其中动点 P从点 A出发沿 A D C  方向运动， 动点Q从点 A出发沿 A B C  方向运动，二者均达到点C 停止运动，设点Q的运动时间为 x， PQE△ 的 面积为 y，则下列能大致反应 y与 x函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【解析】①当0 4t  时，如图，    214 8 4 8 4 4 4 2APQ DPEABCD BCEQ y S S S S t t t               △ △矩形 梯形 21 4 16 2 t t   ，该函数为开口向下的抛物线；②当 4 8t  时，同理可得 1 1 4 (4 4) 2 2 y PE AD t        16 2t  ，该函数为一次函数；③当8 12t  时，同理可得 1 1 1( 4 4) [4 ( 8)] 2 2 2 y PE CQ t t            ( 8)( 12)t t  ，该函数为开口向下的抛物线，故选 D． 模型二 坐标系中的斜三角形模型 如图 9-1-6所示：过点 A作 xAG  轴于点G，交 BC于点 D，则一定有 OCADS ABC  2 1 △ ． 图 9-1-6 图 9-1-7 图 9-1-5 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 9 面积问题 三分剑术 152 【证明】 如图 9-1-7所示；过点 B作 AGBH  于点 H ，则 ABC△ 的面积可以看作是 ABD△ 的面积 加上 ADC△ 的面积，所以 O