专题8 等角倍半（课堂讲义）-中考数学满分突破秒杀压轴题系列

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 8 等角倍半 黯然销魂 123 专题 8 等角倍半 黯然销魂 我们在前面的专题讲过了“12345”在解题时的妙用，那么这个妙招在解答题里能不能使用呢？答案是 肯定的，但是使用的时候需要注意“使用说明书”．本讲我们会围绕直角坐标系中角度的特殊处理方法，把 “12345”在解答题中规范化使用，介绍处理特殊角，等角和倍半角的方法． 第一讲 45°角的特殊化构造 模型一 如图8-1-1所示：在平面直角坐标系中，直线 12:  xyAB 交 x、y轴于点 B、A，若直线 1:  xyAC ， 则一定有 3 1tantan  CAB ． 图 8-1-1 图 8-1-2 【证明】如图 8-1-2 所示：过点 B 作 ACBD  于点 D ，则 4 2 2 1 2 2 2 2  BCCDBD ， 4 23 4 22  CDACAD ，所以 3 1tantan  AD BDCAB  ．（即“ 2 1 ” “ 3 1 ” “1”） 模型二 如图 8-1-3 所示：在平面直角坐标系中，直线 1:  xyAB 交 x 、 y 轴于点 B 、 A ，若直线 1 2 1:  xyAC ，则一定有 3 1tan CAB ． 图 8-1-3 图 8-1-4 【证明】如图 8-1-4 所示：过点 C 作 ABCD  于点 D ，则 2 21 2 2 2 2  BCBDCD ， 2 23 2 22  BDABAD ，所以 3 1tantan  AD CDCAB  ．（即“1” “ 3 1 ” “ 2 ”） 倘若此时直线的解析式是 bkxy  呢？结果还是不变吗？答案是肯定的，证明方法同上． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 8 等角倍半 黯然销魂 124 模型三 如图 8-1-5 所示：在平面直角坐标系中，直线 1:  xyAB 交 x 、 y 轴于点 B 、 A ，若直线 1 3 1:  xyAC ，则一定有 2 1tan CAB ． 图 8-1-5 图 8-1-6 【证明】如图 8-1-6 所示：过点 C 作 ABCD  于点 D ，则 22 2 2 2 2  BCBDCD ， 2222  BDABAD ，所以 2 1tantan  AD CDCAB  ．（即“1” “ 2 1 ” “ 3”） 【例 1】（2018•济南中考）如图 8-1-7，抛物线 2 4y ax bx   过 )02( ，A 、 )04( ，B 两点，交 y轴于点C ， 过点C作 x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 D，连接 AC 、BC．点 P是该抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 ( 4)m m  ． （1）求该抛物线的表达式和 ACB 的正切值； （2）如图 8-1-8，若 45ACP  ，求m的值； 图 8-1-7 图 8-1-8 【解析】（1）法一 将点 )02( ，A 和点 )04( ，B 分别代入 2 4y ax bx   ，得 4 2 4 0 16 4 4 0 a b a b        ，解得 1 2 3 a b       ．所 以该抛物线的解析式为 2 1 3 4 2 y x x   ．如图 8-1-9，过点 B 作 BG CA ，交 CA的延长线于点G ，则 90G  ．因为 90COA G     ， CAO BAG   ，所以 GAB OAC△ ∽△ ． 4 2 2 BG OC AG OA    ．所以 2BG AG ．在Rt ABG△ 中，由勾股定理有 2 2 2BG AG AB  ，所以 2 2 2(2 ) 2AG AG  ．解得 2 5 5 AG  ， 所以 4 5 5 BG  ， 2 5 12 52 5 5 5 CG AC AG     ，在Rt BCG△ 中， 1tan 3 BGACB CG    ． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 8 等角倍半 黯然销魂 125 法二 易知 2 1tan ACO ， 1tan BCO ，根据“ 2 1 ” “ 3 1 ” “1”模型可得 3 1tan ACB ． （2）法一 如图 8-1-10，过点 P作 PE CD 于点 E，因为 45ACP BCD    ，所以 ACB PCE   ，所 以 1tan 3 PCE  ，则 1 3 PE CE  ，即 214 ( 3 4) 12 3 m m m     ，解得 16 3 m  或