专题7 折叠问题（课堂讲义）-中考数学满分突破秒杀压轴题系列

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 7 折叠问题 乾坤挪移 108 专题 7 折叠问题 乾坤挪移 翻折是初中三大图形变换之一，深受中考命题者的青睐．翻折必定出现轴对称，那么全等和角平分线 问题就是其中的命题背景，研究翻折中的几个常见模型，明白了其中的套路后，抓住变与不变，一切问题 将会迎刃而解．我们先从几个常考的翻折模型说起，挖掘其中的性质和结论． 第一讲 角平分线与折叠问题 模型一 平行折叠 如图 7-1-1和 7-1-2所示：当 BEF△ 沿着DE折叠，点 B落在点 F 处，若 B ， AEF ， FDC ， 则一定有  2 ． 如图 7-1-3所示：当 ADE△ 沿着DE折叠，点 A落在点 A处，若 A ，  ECA ，  ABD ， 则一定有  2 ． 图 7-1-1 图 7-1-2 图 7-1-3 【证明】如图 7-1-1所示：根据折叠的性质可知， FEDBED  ， FDEBDE  ，所以 BED 2180 ， BDE 2180 ，所以  221802180  BDEBED ，图 7-1-2同理可证． 如图 7-1-3 所示：根据折叠的性质可知，  EADDAE ，所以根据三角形外角的定理可得   ，即  2 ． 模型二 等腰折叠 如图 7-1-4所示：等腰 ABC△ 中，将 BED沿着DE折叠，使点 B落在点 F 处，若 B ， AEF ， FDC ，若 DEF△ 和 DFC△ 相似，则一定有： ①当 DFCDEF∽△△ 时，则  60CDFEDFBDE ； ②当 FDCDEF∽△△ 时，若则 ACED // ，且 ED、 为中点， CDF△ 和 AEF△ 是等腰三角形． 图 7-1-4 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 7 折叠问题 乾坤挪移 109 【证明】①当 DFCDEF∽△△ 时，则 FDCEDF  ，根据折叠的性质可知， EDFBDE  ，所以  60CDFEDFBDE ． ②当 FDCDEF∽△△ 时， CFDFDE  ，所以 ACDE // ，所以 CBDE  ， DFCDCF  ，所以 DFDC  ，同理可证 EFEA  ．则 CDDFBD  ，点D是 BC的中点，同理可证点 E是 AB的中点． 模型三 菱形最值模型 如图 7-1-5所示：在菱形 ABCD的边长为 a， B D     ，点 E， F 分别是边 AB， BC上的动点， 沿 EF 所在直线折叠 BEF△ ，使点 B的对应点 B始终落在边CD上，则点 A， E 间的距离 d 的最大值是 )sin1( a ． 图 7-1-5 图 7-1-6 【证明】如图 7-1-6 所示：作 AH CD 于点 H ，因为四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形，所以 sin = sinAH AD a   ，根据折叠的性质，B，B  关于 EF 对称，BE EB ，当 BE 的值取得最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当 sinEB AH a    时， BE 的值最小，故 AE的最大值 (1 sin )a ． 【例 1】（2020•上虞期末）如图 7-1-7，将三角形纸片 ABC沿DE折叠，使点 A落在 BC边上的点 F 处，且 / /DE BC，则结论：① BDF△ 是等腰三角形；② 1 2 DE BC ；③四边形 ADFE是菱形；④ 2BDF FEC A    ． 其中正确结论的序号（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 图 7-1-7 【解析】①因为三角形纸片 ABC沿DE折叠，使点 A落在 BC边上的点 F 处，且 / /DE BC，所以 AD DF ， AE EF ， ADE B   ， ADE EDF   ， EDF DFB   ，所以 B BFD   ，所以 BDF△ 是等腰三角 形，故本选项①正确；所以 BD DF ，所以 AD BD ，同理可得出： AE CE ，所以DE 是 ABC△ 的中位 线，所以 1 2 DE BC ；故本选项②正确；因为 AB不一定等于 AC ，所以 AD不一定等于 EF ，四边形 ADFE 不是平行四边形；所以故本选项③错误；因为 BDF△ 是等腰三角形， B BFD ADE     ，所以 C CFE AED     ，所以 180 2BDF B     ， 180 2FEC C     ，所以 180A B C