专题5 动点问题（课堂讲义）-中考数学满分突破秒杀压轴题系列

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 5 动点问题 连环迷踪 71 专题 5 动点问题 连环迷踪 动点专题作为中考的重点和难点部分，我们将重点介绍常考的几种构造和存在性问题．这一专题中我 们的重心是三角形的存在性问题，作为特殊的三角形，我们首先研究的是等腰三角形和直角三角形．本专 题我们主要利用“两圆一线”和“两线一圆”的思想去限定等腰三角形和直角三角形的构造，利用数形结 合的思想建立关系从而找出答案． 第一讲 动点形成等腰三角形问题 模型一 固定角模型 1．等腰三角形存在性问题 如图 5-1-1所示：若三角形有一个不变的内角 ，用同一个参数表示出该三角形不变角的相邻两条边， 以腰为标准可分成三类． 图 5-1-1 图 5-1-2 图 5-1-3 图 5-1-4 ①当定角 为顶角时，如图 5-1-2所示：则有 ba  ； ②当定角 为底角且 b为腰时，如图 5-1-3所示：则有 cos 2 a b   ； ③当定角 为底角且 a为腰时，如图 5-1-1所示：则有 cos 2 b a   ． 2．直角三角形存在性问题 ①若直角三角形有一个不变的锐角 ，利用其三角函数列式计算； ②若不变角是直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似求解． 3．等腰直角三角形存在性问题 一般构造“一线三直角”全等，即“K字型”全等． 注意 以上问题，用时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解． 【例 1】（2019•攀枝花中考）如图 5-1-5在平面直角坐标系 xOy中，已知 (0 2)A ， ，动点 P在 3 3 y x 的图 象上运动（不与O重合），连接 AP．过点 P作 PQ AP ，交 x轴于点Q，连接 AQ．当 OPQ△ 为等腰三角 形时，求点Q的坐标． 图 5-1-5 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 5 动点问题 连环迷踪 72 【解析】设 3( ) 3 P m m， ，则 3 6: 2 3AP ml y x m    ，因为 PQ AP ，所以 3 2 3PQ mk m   ，所以 3: 2 3PQ ml y m   3( ) 3 x m m  ，所以 4 2 3( 0) 3 mQ  ， ，所以 2 24 3 OP m ， 2 216 16 43 9 9 3 OQ m m   ， 2 24 4 43 9 9 3 PQ m m   ， ①OP OQ 时，则 2 24 16 16 43 3 9 9 3 m m m   ，整理得 2 4 3 3 0m m   ，解得 2 3 3m   ，所以 1 0(2 3 4 )Q  ， ， 2 0(2 3 4 )Q  ， ；②当 PO PQ 时，则 2 24 4 4 43 3 9 9 3 m m m   ，整理得 22 3 3 0m m   ，解得 3 2 m  或 3m   ，当 3 2 m  时，Q点与O重合，舍去，所以 3m   ，所以 3 ( 2 3 0)Q  ， ；③当QO QP 时，则 2 216 16 4 4 4 43 3 9 9 3 9 9 3 m m m m     ，整理得 2 3 0m m  ，解得 3m  ，所以 4 2 3( 0) 3 Q ， ，所以点Q的 坐标为 (2 3 4 0) ， 或 (2 3 4 0) ， 或 ( 2 3 0) ， 或 2 3( 0) 3 ， ． 【例 2】（2020•兰州中考）如图 5-1-6，二次函数 21 4 y x bx c   的图象过点 (4 4)A ， ， ( 2 )B m ， ，交 y 轴于点 (0 4)C ， ．直线 BO与抛物线相交于另一点D，连接 AB， AD，点 E是线段 AB上的一动点，过点 E作 EF BD∥ 交 AD于点 F ． （1）求二次函数 21 4 y x bx c   的表达式； （2）点H 是抛物物的顶点，在（3）的条件下，点 P是平面内使得 90EPF  的点，在抛物线的对称轴上， 是否存在点Q，使得 HPQ△ 是以 PQH 为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 5-1-6 图 5-1-7 【解析】（1）因为二次函数 21 4 y x bx c   的图象过点 (4 4)A ， ，点 (0 4)C ， ，所以 4 4 4 4 c b c        ，解 得 1 4 b c      ，所以二次函数的解析式为 2 1 4 4 y x x   ； （2）如图 5-1-7中，设 EF 的中点为 k， ( )P x y， ，连接 PK