专题4 三角函数（课堂讲义）-中考数学满分突破秒杀压轴题系列

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 4 袖里乾坤 三角函数 56 专题 4 袖里乾坤 三角函数 解直角三角形是初中三角函数中的应用部分，主要考查三角函数定义的运用和构造直角三角形的基本 思想，这部分内容总体难度不大，我们在这一专题中介绍破解三角函数应用中的求塔高和距离问题的模型 定理，又或者说提供多一些解决问题的方法，多去思考题型中蕴含的公式，多去挖掘背后的命题用意，我 们是否会有新的发现和新的体验呢？另外，我们这一专题还会围绕网格中的三角函数去揭开特殊正切值中 藏着的秘密． 第一讲 三角函数中“塔高”模型 “塔高”模型一 tan tan 底 高 解直角三角形中经常遇到求楼高、塔高的问题，这类题中是否存在什么比例和数量关系呢？当站在同 一水平高度，在 B点处看 A处的仰角为 ，在C点处看 A的仰角为 （即同一水平的不同位置看同一高度）， 是存在着一定关系的，我们把这种关系成为“塔高模型”． 如图 4-1-1所示：此时就会满足 tan tan 底 高 ． 图 4-1-1 图 4-1-2 【证明】 因为 tan AD BD   ， tan AD CD   ，所以 1 1 tan tan BD CD BC AD AD AD       底 高 ． 如图 4-1-2所示：若 B C、 处于不同高度时，我们只需延长 AB和CD，转化为图 4-1-1的模型即可． “塔高”模型二 tan tan 底 高 图 4-1-3 图 4-1-4 【证明】 如图 4-1-3，因为 tan AD BD   ， tan AD CD   ，所以 1 1 tan tan BD CD BC AD AD AD       底 高 ． 如图 4-1-3所示：若 B C、 处于不同高度时，我们只需延长 AB和CD，转化为图 4-1-3的模型即可． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 4 袖里乾坤 三角函数 57 【例 1】（2020•郑州模拟）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红 分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题：测量古塔的高度 小明的研究报告 小红的研究报告 图示 测量方案与测 量数据 用距离地面高度为1.6m的 测角器测出古塔顶端的仰角 为35，再用皮尺测得测角器 所在位置与古塔底部边缘的 最短距离为30m． 在点 A用距离地面高度为1.6m的测角器 测出古塔顶端的仰角为17，然后沿 AD方 向走58.8m到达点 B，测出古塔顶端的仰 角为 45． 参考数据 sin35 0.57  ， cos35 0.82  ， tan35 0.70  sin17 0.29  ， cos17 0.96  ， tan17 0.30  ， 2 1.41 计算古塔高度 （结果精确到 0．1） 30 tan35 1.6 22.6( )m    （1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程； （2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析 测量发生偏差的原因； （3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为 m． 【解析】（1）设CH x ，在Rt CHF△ 中，因为 45CFH FCH   ，所以CH FH x  ，在Rt CHE△ 中， 因为 tan CHCEH EH   ，所以 tan17 0.30 58.8 x x     ，所以 25.2x  ，即 25.2( )CH m ，所以CD CH DH  25.2 1.6 26.8( )m   ； （2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面 圆心的最短距离． （3）如图 4-1-5所示，在 EH 上取一点 P使 35CPH  ，则 30PG  ，在Rt CHP△ 中， 25.2CH  ，所以 25.2 36 tan35 0.7 CHPH     ，所以 6GH PH PG   ，所以该古塔底面圆直径的长度 2 6 12( )m   ． 法二（1）根据“塔高”模型，所以 1 1 10 58.81 25.2( ) tan17 tan 45 3 EF CH m CH CH          ，所以CD CH DH  25.2 1.6 26.8( )m   学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 4 袖里乾坤 三角函数 58 图 4-1-5 【例 2】（2020•深圳模拟）如图 4-1-6，