专题3 坐标模型（课堂讲义）-中考数学满分突破秒杀压轴题系列

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 3 一指夺魂 坐标模型 44 专题 3 一指夺魂 坐标模型 谈到平面直角坐标系，我们就无法避开坐标这个问题，我们知道通过函数方程的联立关系可以找到一 个求交点坐标的方法，而这个专题我们的重心放在用几何法去求坐标．我们很清楚的知道，几何性质在平 面直角坐标系中的重要性，前面两个专题全等和相似三角形为我们铺下了很好的基础，这个专题，我们将 直击本质，深挖几何性质，站在几何背景处去探究坐标系中点坐标的解决方法，并详尽地阐释“ k”字型的 坐标系下的应用，几个重要特殊角和 tan 的处理手段． 第一讲 几何法求点的坐标 我们现阶段求点的坐标主要分为两种方法：①代数法；②几何法．代数法主要是方程的联立求解，本 章节不做赘述，主要介绍几何法． 若为 45 的等腰直角三角形，设直角边为 a，则另一直角边也为 a，斜边为 a2 ，三边之比为 211 ：： ． 若为 30 的直角三角形，设 30 所对的直角边为 a，则另一直角边为 a3 ，斜边为 a2 ，三边之比为 2:3:1 ． 若题干中提到 30 、 45 、 60 等特殊角，我们即可构造出直角三角形来做，如果是 tan ，我们知道正 切值是两条直角边的比值，那么也可构造出直角三角形． 【例 1】（2020•恩施模拟）如图 3-1-1，在平面直角坐标系中，反比例函数 ( 0)ky k x   的图象经过等腰 AOB△ 底边OB的中点C和 AB边上一点 D，已知 (4 0)A ， ， 30AOB  ，则 k的值为（ ） A． 2 3 B．3 3 C．3 D．4 图 3-1-1 图 3-1-2 【解析】如图 3-1-2，过点 B 作 BE x 轴于点 E ，因为 (4,0)A ， OA OB ，所以 4OA AB  ，所以 30AOB ABO    ，所以 2 60BAE AOB    ，所以 3sin 4 2 3 2 BE AB BAE      ， cosAE AB BAE   14 2 2    ，所以 4 2 6OE OA AE     ，所以点 B的坐标为 (6，2 3)，因为点C为OB中点，所以点C 的坐标为 (3 3)， ，又因为反比例函数 ( 0)ky k x   的图象经过点C，所以 3 3 3 3k    ，故选 B． 【例 2】（2020•沙坪坝月考）如图 3-1-3，反比例函数 ( 0)ky k x   的图象经过等边 ABC△ 的顶点 A， B， 且原点O刚好落在 AB上．已知点C的坐标是 (3 4)， ，则 k的值为（ ） A． 6 B． 4 C． 3 D． 2 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 3 一指夺魂 坐标模型 45 图 3-1-3 【解析】由对称性可知OA OB ，因为 ABC△ 是等边三角形，所以OC AB ，所以 3 3 OA OC ，因为 (3 4)C ， ， 所以 4 3( 3) 3 A  ， ，把 A点坐标代入 ky x  ，得到 4k   ，故选 B． 【例 3】如图 3-1-4，抛物线 2 8 12y y ax ax a    与 x轴交 A、B两点，P在 y轴正半轴，PB与抛物线交 于C，已知C是 BP的中点， 45PBO  ． （1）求抛物线解析式； （2）若将该抛物线沿 x轴或 y轴方向平移，使平移后的抛物线以 P为顶点，请说出一种平移的方案． 图 3-1-4 【解析】（1）当 0y  时， 2 8 12 0ax ax a   ，解得 1 2x  ， 2 6x  ，则 (2 0)A ， ， (6 0)B ， ，因为 45PBO  ， 所以 6OP OB  ，所以 P点坐标为 (0 6)， ，因为C 是 BP的中点，所以C 点坐标为 (3 3)， ，把 (3 3)C ， 代入 2 8 12y ax ax a   得 9 24 12 3a a a   ，解得 1a   ，所以抛物线解析式为 2 8 12y x x    ； （2）因为 2 28 12 ( 4) 4y x x x        ，所以抛物线的顶点坐标为 (4 4)， ，把点 (4 4)， 先向左平移 4个单 位长度，再向上平移 2个单位长度得到点 (0 6)P ， ，所以把抛物线 2 8 12y x x    先向左平移 4个单位长度， 再向上平移 2个单位长度得到以点 P为顶点的抛物线． 【同步训练】 1．（2019•松滋期末）在平面直角坐标系内，已知点 A的坐标为 ( 6 0) ， ，直线 :l y kx b  不经过第四