专题2 构造相似（课堂讲义）-中考数学满分突破秒杀压轴题系列

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 2 回风拂柳 构造相似 24 专题 2 回风拂柳 构造相似 如果说全等三角形是初中几何的入门图形，是几何部分的地基，那么相似三角形便扮演着几何大楼的 砖瓦，有着举足轻重的作用．相似三角形的证明，证明之后的比例关系应用成为相似三角形的重要考点， 几何部分的线段计算往往离不开相似三角形的比例关系，利用相似比建立关系式是破解线段计算的良策．这 个专题我们将围绕相似三角形，介绍相似三角形当中的比例关系，揭开旋转相似模型的特点，最后为大家 带来“瓜豆原理”进一步去探索旋转相似中的点线关系，破解中考压轴题中的动点轨迹难题． 第一讲 射影定理与比例中项 常见相似三角形比例中项模型： 模型一 射影定理 在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜 边上的射影和斜边的比例中项． 如图 2-1-1所示：①由 DBAABC∽△△  BCBDAB 2 ；②由 DACABC∽△△ ， CBCDAC 2 ； ③ CADABD∽△△ ， DCBDAD 2 ． 图 2-1-1 【证明】在 DACDBA∽△△ 中，因为  90ADCBDA ，且  90CDAC ，所以 CBAD  ， 所以 DACDBA∽△△ ，所以 DB DA DA DC  ，所以 DCBDAD 2 ，同理： DBAABC∽△△ ， DACABC∽△△ 得到 BCBDAB 2 ， CBCDAC 2 ． 【例 1】（2019•平舆期末）如图 2-1-2，在 ABC△ 中，CD是 AB边上的高，且 2CD AD BD  ． （1）求 ACB 的度数； （2）若 4AC  ， 10AB  ，求 AD的长． 图 2-1-2 【解析】如图 2-1-2：（1）因为CD是 AB边上的高，所以 90ADC BDC    ，因为 2CD AD BD  ，所 以 AD CD CD BD  ，所以 ADC CDB△ ∽△ ，所以 A BCD   ，又因为 90A ACD   ，所以 90ACD BCD   ， 又因为 ACB ACD BCD    ，所以 90ACB  ； 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 2 回风拂柳 构造相似 25 （2）因为 90ACB ADC     A A   ，所以 ACD ABC△ ∽△ ，所以 AD AC AC AB  ，又因为 4AC  ， 10AB  ， 所以 4 4 10 AD  ，所以 1.6AD  ． 模型二 类射影定理（字母型相似） 若 A （公共角）的一边是 AB（公共边），另一边上是三点共线，则公共边是长边（公共角顶点到远 距离顶点的线段）和短边（公共角顶点到近距离顶点的线段）的比例中项．这也是我们常说的字母型相似． 如图 2-1-3所示：在 ABC△ 中， D为 AC上的一点，且 CABD  ，求证 ADACAB 2 ． 图 2-1-3 【证明】在 ABC△ 和 ADB△ 中 ， 因 为 CABD  且 AA  , 所 以 ADBABC∽△ ， 所 以 ADABBC 2 ． 【例 2】（2020•嘉祥一模）如图 2-1-4所示， AB为 O 的直径，弦 / /CD AB， E是 AB延长线上一点，且 CDB ADE   ． （1）DE是 O 的切线吗？请说明理由； （2）求证： 2AC CD BE  ． 图 2-1-4 图 2-1-5 【解析】（1）结论：DE是 O 的切线．理由：如图 2-1-5，连接OD．因为 CDB ADE   ，所以 ADC EDB   ， 因为 / /CD AB，所以 CDA DAB   ，因为OA OD ，所以 OAD ODA   ，所以 ADO EDB   ，因为 AB 是直径，所以 90ADB  ，所以 90ADB ODE    ，所以 DE OD ，所以DE是 O 的切线； （2）因为 / /CD AB，所以 ADC DAB   ，即 CDB DBE   ，所以 AC BD ，所以 AC BD ，又因为 DCB DAB   ， EDB DAB   ，所以 EDB DCB   ，所以 CDB DBE△ ∽△ ，所以 CD DB BD BE  ，所以 2BD CD BE  ，所以 2AC CD BE  ． 模型三 角平分线为公共边型 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 2 回风拂柳 构造相似 26 射影定理的斜边上的高是两直角边在斜边射影的比例中项． 如图 2-1-