专题1 全等三角形（课堂讲义）-中考数学满分突破秒杀压轴题系列

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 1 斗转星移 大破全等 1 专题 1 斗转星移 大破全等 全等三角形是初中数学中非常重要的几何部分，也同时是步入几何学习的基础铺垫，它在几何证明、 平面直角坐标系中的计算和函数动点探究题中都是常客．既然全等三角形在初中几何中有如此重要的地位， 那么我们就必须熟悉全等三角形的常见模型，掌握一些构造全等三角形的辅助线方法．这一专题，我们将 抓住全等三角形的几何证明部分，逐步认识“一线三等角”模型、“手拉手”模型、对角互补模型和半角模 型，熟能生巧，备考知己知彼，方能在考场上百战百胜． 第一讲 平移或倒立构造的全等三角形 模型一 平移构造全等三角形 如图 1-1-1 所示： CBA △ 可以看作是 ABC△ 沿着直线 BC 平移得到的，根据平移的性质可知 ABCCBA ≌△△  ．我们把这种模型称为平移全等模型．由于这种模型比较简单，我们不再详细说明． 图 1-1-1 【例 1】（2020•常州中考）已知：如图 1-1-2，点 A、B、C、D在一条直线上， / /EA FB，EA FB ，AB CD ． （1）求证： E F   ； （2）若 40A  ， 80D  ，求 E 的度数． 图 1-1-2 【解析】证明：（1）因为 / /EA FB，所以 A FBD   ，因为 AB CD ，所以 AB BC CD BC   ，即 AC BD ， 在 EAC△ 与 FBD△ 中， EA FB A FBD AC BD       ，所以 ( )EAC FBD SAS△ ≌△ ，所以 E F   ； （2）因为 EAC FBD△ ≌△ ，所以 80ECA D    ，因为 40A  ，所以 180 40 80 60E        ． 模型二 倒立构造全等三角形 如图 1-1-3 和如图 1-1-2所示： CBA △ 可以看作是 ABC△ 沿着直线 AC 翻折得到的，根据翻折的性 质可知 ABCCBA ≌△△  ．我们把这种模型称为对称全等模型或者叫倒立全等模型．由于这种模型比较简 单，我们不再详细说明． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 1 斗转星移 大破全等 2 图 1-1-3 图 1-1-4 【例 2】（2020•广州中考）如图 1-1-5， AB AD ， 25BAC DAC    ， 80D  ．求 BCA 的度数． 【解析】在 ABC△ 与 ADC△ 中， AB AD BAC DAC AC AC       ，所以 ( )ABC ADC SAS△ ≌△ ，所有 80D B    ，所 以 180 25 80 75BCA        ． 图 1-1-5 图 1-1-6 【例 3】（2020•宜宾中考）如图 1-1-6，在 ABC△ 中，点D是边 BC的中点，连结 AD并延长到点 E，使DE AD ， 连结CE ． （1）求证： ABD ECD△ ≌△ ； （2）若 ABD△ 的面积为 5，求 ACE△ 的面积． 【解析】证明：（1）因为 D是 BC中点，所以 BD CD ，在 ABD△ 与 CED△ 中， BD CD ADB CDE AD ED       ，所以 ( )ABD ECD SAS△ ≌△ ； （2）在 ABC△ 中，D是边 BC的中点，所以 ABD ADCS S△ △ ，因为 ABD ECD△ ≌△ ，所以 ABD ECDS S△ △ ，因 为 5ABDS △ ，所以 5 5 10ACE ACD ECDS S S    △ △ △ ，所以 ACE△ 的面积为10． 模型三 旋转构造全等三角形 如图 1-1-7 所示： CBA △ 可以看作是 ABC△ 绕着点 A旋转任意角度得到的，根据旋转的性质可知 ABCCBA ≌△△  ．我们把这种模型称为旋转全等模型．由于这种模型比较简单，我们不再详细说明． 图 1-1-7 学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题 1 斗转星移 大破全等 3 【例 4】（2020•西藏中考）如图 1-1-8， ABC△ 中，D为 BC边上的一点，AD AC ，以线段 AD为边作 ADE△ ， 使得 AE AB ， BAE CAD   ．求证： DE CB ． 图 1-1-8 【解析】证明：因为 BAE CAD   ，所以 BAE BAD CAD BAD     ，即 DAE CAB   ，在 ADE△ 和 ACB△ 中， AD AC DAE CAB AE AB     