1.3.2基本不等式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

3.2 基本不等式 北师大版（2019）高中数学必修第一册 第一章 预备知识 第3节 不等式 导入课题 新知讲授 典例剖析 课堂小结 对于任意实数x和y， 总是成立的， 即， 变形得， 当且仅当时，等号成立. 这个式子可以推出一个我们高中数学中很重要的式子，今天我们要重点学习这个式子——基本不等式. 一、基本不等式 导入课题 基本不等式：设，取，，代入可得 ，当且仅当等号成立. 这个不等式称为基本不等式，其中称为的算术平均值，称为的几何平均值， 因 此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为： 两个非负数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 新知探究 典例剖析 课堂小结 几何解释：如图，AB 是半圆O 的直径，点 C 在 AB 上，且AC=a，CB =b.过点 C 作 AB 的垂线，交弧 AB 于点 D ，连接 AD，OD，BD.显然OD=OA=；利用三角形相似，可证得△ACD∽△DCB，从而 CD=. 从图中可以看出，OD≥CD，当且仅当点 C 与圆心 O 重合时，等号成立， 即”半径大于等于半弦”. 所以. 二、均值不等式(完整版) 导入课题 均值不等式(完整版)：，当且仅当等号成立. 上述不等式中，每个部分是平均数，因此称它为平均值不等式，简称均值不等式，其中为平方平均数，为调和平均数. 新知探究 典例剖析 课堂小结 的证明：要证，只需证，只需证，只需证 ，只需证，而显然成立，因此成立. 几何解释：如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在 AB 上，且 ，，过点 O 作 AB 的垂线， 交弧 AB 于点 F ，显然， 所以，所以， 从图中可以看出，当且仅当点 C 与圆心 O 重合时，等号成立. 所以. 二、均值不等式(完整版) 导入课题 完整版均值不等式：，当且仅当等号成立. 上述不等式中，每个部分是平均数，因此称它为平均值不等式，简称均值不等式，其中为平方平均数，为调和平均数. 新知探究 典例剖析 课堂小结 的证明：要证，只需证，只需证，只需证，只 需证，而显然成立，所以成立. 所以，当且仅当等号成立， 由不等式的性质1可得，当且仅当等号成立. 三、基本不等式的应用 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 基本不等式的应用：当均为正数时，下面的命题均成立： (1)若，则当且仅当时，取得最大值; (2)若，则当且仅当时，取得最小值. 证明：（1）由基本不等式和，得， 所以，当且仅当时，不等式等号成立， 此时取得最大值. (2)同理可证. 应用1，把一段长为16 cm 的细铁丝弯成形状不同的矩形，当矩形的长，宽分别为何值时，面积最大？ 应用2，面积为16 的所有不同形状的矩形中，矩形的长，宽分别为何值时，周长最小？ 解：设长、宽分别为，则，所以当且仅当时，面积，联立 与，得. 解：设长、宽分别为，则，所以当且仅当时，取得最小值，此时周长 ，联立与，得. 基本不等式的应用的前提条件 一正，二定，三相等 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 例4 已知，求证：. 解： 因为，所以由基本不等式，得 ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 上面三式相加，得，即 ，当且仅当时，等号成立. 教材27页例题 解： （1）设每间禽舍的长为，宽为，则，即， 则每间禽舍的面积， 应用基本不等式，有，即，所以， 当且仅当时，不等式中的等号成立，联立与，得，=3. 因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为 4.5 m和 3 m 时， 可使每间禽舍面积最大，最大面积为. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 例5 如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可 利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计） （1）现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各 设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为24 ，则每间禽舍的长、宽各设计 为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？ 教材29页例题 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 例5 如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可 利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计） （