专题18 坐标系与参数方程-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题18坐标系与参数方程-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用） 考向一 极坐标与参数方程 【母题来源】2022年高考浙江卷 【母题题文】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）． （1）写出的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标． 【试题解析】【小问1详解】 因为，，所以，即的普通方程为． 【小问2详解】 因为，所以，即的普通方程为， 由，即的普通方程为． 联立，解得：或，即交点坐标为，； 联立，解得：或，即交点坐标为，． 【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目． 【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力． 常见的命题角度有： （1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义. 【得分要点】 (1)运用极坐标，借助极径的几何意义； (2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义； 1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，为常数且），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：． (1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程； (2)点，直线与曲线交于两点，若，求直线的斜率． 【答案】(1)；(2)±1 【解析】 【分析】 （1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解，进而可求. (1)， ； (2)将代入得，，因为点 在圆内，故 在点两侧，由题意知，，因此，即， 故，解得，进而 因此斜率为±1． 2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为． (1)求的极坐标方程，判断，的位置关系；(2)求经过曲线，交点的直线的斜率． 【答案】(1)，，相交.(2) 【解析】 【分析】 （1）先求解的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解的极坐标方程，再根据的直角坐标方程，分析，圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可； （2）根据，均过极点，联立极坐标方程，求解即可 (1)由题意，的标准方程为，即，故的极坐标方程为，即，又，的极坐标方程为，即，.因为， ，半径相等，半径和为，且，故，相交. 故的极坐标方程，，相交. (2)由（1）：，：均经过极点且相交，联立有，显然，故，即，即经过曲线，交点的直线的斜率为 3．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为：(t为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为． (1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2)若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1)当时，直线的普通方程为；当时，直线的普通方程为； (2)或 【解析】 【分析】 （1）因为直线的参数方程为（为参数），讨论和时，消去参数，即可求出直线的普通方程，因为，即可求出曲线的直角坐标方程. （2）将直线的参数方程代入曲线的方程整理，．因为，可设该方程的两个根为，所以，代入即可求出直线的倾斜角. (1)因为直线的参数方程为（为参数）， 当时，直线的普通方程为． 当时，直线的普通方程为． 因为，， 因为，所以． 所以的直角坐标方程为． (2)曲线的直角坐标方程为， 将直线的参数方程代入曲线的方程整理， 得． 因为，可设该方程的两个根为， 则，． 所以 ． 整理得， 故． 因为，所以或， 解得或或， 综上所述，直线的倾斜角为或． 4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数）.曲线的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线，的极坐标方程； (2)若曲线，的交点为A，B，已知，求. 【答案】(1)（或，），ρ＝4. (2)12 【解析】 【分析】 （1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程； （2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可. (1)由曲线（t为参数），消去参数t得， 化成极坐标方程得.化简极坐标方程为（或，）. 曲线（θ为参数）消去参数θ得.化简极坐标方程为ρ＝4. (2)由已知得P在曲线上，将曲线化为标准参数方程（t为参数）代入的直角坐标方程，得， 即，即A，B所对应的参数