专题17 导数及其应用-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题17导数及其应用-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用） 考向一 切线方程 【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科） 【母题题文】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【试题解析】【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴,整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是,故答案为： 【命题意图】本题主要考查设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，属于基础题. 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1）已知切点求斜率；（2）已知斜率求切点；（3）切点、斜率均未知. 【得分要点】 （1） 设切点为(x0,y0)；（2）求出原函数的导函数，将x0代入导函数得切线的斜率k；（3）由斜率k和切点(x0,y0)求参数的值. 考向二 利用导数求函数的极值点与极值 【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科） 【母题题文】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【试题解析】【详解】解：， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，当时，， 若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意， 若时，则方程的两个根为， 即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点， ∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数， 又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示： 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得， 又，所以，综上所述，的范围为. 【命题意图】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度. 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度较大，多为中挡题目，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1）求函数的极值点；（2）求函数的极值；（3）由函数的极值点极值解参数范围. 【得分要点】 （1）求函数的定义域、求导； （2）列表分析,确定函数的单调区间； （3）从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)； （4）最后求出所有极值点处的函数值,即得所求函数的极值. 考向三 利用导数求函数的最值 【母题来源】2022年高全国乙卷（文科） 【母题题文】函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【试题解析】【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 【命题意图】利用导数求得的单调区间，从而判断出的最小值和最大值. 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度不大，多为中挡题目，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1）求函数的最值；（2）利用最值求参数范围. 【得分要点】 （1）求函数的定义域、求导； （2）列表分析，确定函数的单调区间； （3）从表中找出单调性发生变化的交界点，进而求出最值. 一、单选题 1．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））曲线在处的切线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程 【详解】 ，则， 当时，，， 所以切线方程为，即． 故选：D． 2．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数在点处的切线方程为，则（       ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 求导，利用切线方程，得到方程组，求出，，求出答案. 【详解】 由，则，所以 解得：，，所以 .故选：D. 3．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（       ） A． B．± C． D．± 【答案】C 【解析】 【分析】 先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值． 【详解】 因为 所以 当时，，此时， ∴． 故选：C. 4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（       ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【解析】 【分析】 设切点为,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值． 【详