专题16 圆锥曲线-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题16 圆锥曲线-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用） 考向一 椭圆 【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科） 【母题题文】 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【试题解析】【小问1详解】 解：设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. 【小问2详解】 ，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【命题意图】 本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力. 【命题方向】 这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 【得分要点】 求定点、定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 考向二 双曲线 【母题来源】2022年高考浙江卷 【母题题文】 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________． 【试题解析】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 【命题意图】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算求解能力. 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 【得分要点】 （1） 第一问主要利用圆锥曲线的简单性质解答； （2） 第二问联立直线和圆锥曲线并消元； 考向三 抛物线 【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科） 【母题题文】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【试题解析】小问1详解】 抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以，所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得，所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，， 所以，所以直线. 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的交点问题，考查学生的数学运算能力，是一道较难的题目. 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题的形式出现．试题难度较大，多为高档题，重点考查抛物线的定义、性质及直线与抛物线的交点等. 【得分要点】 利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系. 一、单选题 1．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（            ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义求解即可 【详解】 由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知 ∴ 故选：C 2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 将代入C中，求得AB坐标，利用三角形AOB是等腰直角三角形，求得a，b的关系，从而求得离心率. 【详解】 将代入C中，得，，由题意得， 即，． 故选：D. 3．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线的方程可得点F坐标及渐近线方程，进而求得点P坐标，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得， 由于点P在第一象限，所以点P坐标为， 双曲线的渐近线方程