微专题：弧长、扇形面积公式 学案——2023年高考数学一轮《考点•题型 •技巧》精讲与精练

微专题:弧长与扇形面积公式 【考点梳理】 1.定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示. 2.公式 角α的弧度数公式 |α|=(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°= rad;②1 rad=° 弧长公式 l=|α|r 扇形面积公式 S=lr=|α|r2 注:有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π=180°,在同一个式子中,采用的度量必须一致,不可混用; (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. 思维导图: 【题型归纳】 题型一:弧长的有关计算 1.已知扇形的周长为30cm,圆心角为3rad,则此扇形的弧长为( ) A.6cm B.12cm C.18cm D.24cm 2.在半径为1的圆上,与直径长度相等的弧所对的弦的长度为( ) A. B. C. D. 3.已知边长为的等边的外接圆圆心为O,则所对的劣弧长为( ) A. B. C. D. 题型二:扇形面积的有关计算 4.已知扇形的圆心角为,半径为,则此扇形的面积为( ) A. B.π C. D. 5.已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形,若该圆锥的侧面积为,则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 6.《九章算术》中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=×(弦×矢+矢).弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为2米的弧田(如图2),则这个弧田面积大约是( )平方米.(,结果保留整数) A.2 B.3 C.4 D.5 题型三:扇形中的最值问题 7.已知扇形的周长是,当扇形面积最大时,扇形的圆心角的大小为( ) A. B. C.1 D.2 8.已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为( ) A.2 B.4 C. D. 9.若扇形周长为20,当其面积最大时,其内切圆的半径r为( ) A. B. C. D. 题型四:扇形弧长公式与面积公式的应用 10.若一个圆锥的底面面积为,其侧面展开图是圆心角为的扇形,则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 11.已知某扇形的周长是,面积是,则该扇形的圆心角的弧度数为( ) A.1 B.4 C.1或4 D.1或5 12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差,现有圆心角为,弧长等于的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(参考数据)( ) A. B. C. D. 题型五:与数学文化有关问题 13.《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂及肩膀近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的一只手臂长约为米,整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1米.则掷铁饼者双手之间的距离约为( )(参考数据:,) A.1.412米 B.1.414米 C.1.732米 D.1.734米 14.中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰:“叠扇放床上,企想远风来轻袖佛华妆,窈窕登高台.”如图所示,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为,扇面所在大圆的半径为,所在小圆的半径为,那么这把折扇的扇面面积为( ) A. B. C. D.以上都不对 15.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁,扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形,使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为,再从扇形中剪下扇环形制作扇面,使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品(如图)的面积与圆面积的比值为( ) A. B. C. D. 试卷第1页,共3页 ( 第 1 页 共 41 页 ) 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 【双基达标】 16.《九章算术》成书于公元一世纪,是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”(一步=1.5米)意思是现有扇形田,弧长为45米,直径为24米,那么扇形田的面积为 A.135平方米 B.270平方米 C.540平方米 D.1080平方米 17.玉雕在我国历史悠久,拥有深厚的文化底蕴,数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺,加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸(单位:)如图所示,则该壁画的扇面面积约为(