第1章 第3讲 相等关系与不等关系（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

第3讲　相等关系与不等关系 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、解析几何、实际问题等相结合进行综合命题. [知识梳理] 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0⇔__a>b__；a－b＝0⇔__a＝b__；a－b<0⇔__a<b__. 2．等式的性质 (1)对称性：如果a＝b，那么__b＝a__. (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么__a＝c__. (3)可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝__b±c__. (4)可乘性：如果a＝b，那么__ac＝bc__. (5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么　＝　. 3．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b__＜__a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a__＞__c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c__＞__b＋c. (4)同向可加性：a＞b，c＞d⇒a＋c__＞__b＋d. (5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac__＞__bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (6)同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac__＞__bd. (7)可乘方性：a＞b＞0⇒an__＞__bn(n∈N，n≥2)． [注意] (1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c. (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，ac2＝bc2)． 常用结论　 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<0<b⇒<； ③a>b>0，d>c>0⇒>. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①<；>(b－m>0)； ②>；<(b－m>0)． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (2)若>1，则a>b.(　　) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　) (6)若ab>0，且a>b⇔<.(　　) 答案 (1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 答案　A 解析　M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝2＋＞0，所以M>N.故选A项． 3．(多选)下列结论正确的是(　　) A．若a>b，c>0，则ac>bc B．若a>b，c>0，则> C．若a>b，则a＋c>b＋c D．若a>b，则a－c>b－c 答案　ACD 解析　A项满足不等式基本性质的可乘性，正确；B项，若a>b，c>0，则与的大小关系不确定，错误；C，D项，满足不等式基本性质的可加性，正确．故选ACD项． 4．已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是______________. 解析 因为－3<b<5，所以－5<－b<3，又－1<a<2，所以－6<a－b<5. 答案 (－6,5) 5．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”不正确的一组整数a，b，c的值依次为______________. 解析 因为a>b>c，所以a>c，b>c，则a＋b>2c.2c与c的大小关系不确定，当c＝0时，2c＝c；当c>0时，2c>c；当c<0时，2c<c.不妨令a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝c，所以a＋b>c不一定正确． 答案 －1，－2，－3(答案不唯一) 考点一　比较两个数(式)的大小…………自主练透 1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B 答案　B 解析　由题意得B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．故选B项． 2．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 答案　B 解析　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)·(a2－1)，又因为a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.故选B项． 3．若a＝，b＝，比较a与b的大小． 解析 因为a＝>0，b＝>0，所以＝·＝＝＝log89>1，所以a>b. 解题技巧　 比较两个数(式)大小的两种方法 考点二　不等式的性质…………师生共研 【例1】 (