第1章 第2讲 常用逻辑用语（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

第2讲　常用逻辑用语 1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 4．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 5．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． 6．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 主要考查含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度. [知识梳理] 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件 p⇒q且qp p是q的__必要不充分__条件 pq且q⇒p p是q的__充要__条件 p⇔q p是q的__既不充分也不必要__条件 pq且qp [注意] 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 2．全称量词命题和存在量词命题 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 __∀__ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 __∃__ (2)全称量词命题和存在量词命题 名称 形式 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x0，使p(x0)成立 简记 __∀x∈M__，p(x) __∃x∈M__，p(x) 否定 __∃x∈M__，綈p(x) __∀x∈M__，綈p(x) [注意] 全称量词命题和存在量词命题的否定规律是“改量词，否结论”，注意“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”． 常用结论　 集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． (1)p是q的充分不必要条件⇔AB． (2)p是q的必要不充分条件⇔AB． (3)p是q的充要条件⇔A＝B． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)若p：x>1，q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　) (2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．(　　) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (4)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．(　　) 答案 (1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．∃x∈R，sin x＝2 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上 答案　ACD 解析　A项，Δ＝1－4×1＜0，又y＝x2－x＋1的图象开口向上，故x2－x＋1恒大于0，正确；B项，－1≤sin x≤1，错误；C项，()2＝3，正确；D项，由垂直平分线的概念知，正确．故选ACD项． 3．已知a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　方法一　由a2>a，得a2－a>0，a(a－1)>0，即a>1或a<0，所以条件“a>1”可以推出结论“a2>a”，反之不成立，所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．故选A项． 方法二　若a2>a，可取a＝－2，则(－2)2>－2，但－2>1不成立，a>1时，a2>a成立，所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．故选A项． 4．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是___________________. 答案 存在一个等边三角形，它不是等腰三角形 5．已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的________条件． 解析 当x－2＝ 时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)·(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝ 不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件． 答案 充要 考点一　充分条件、必要条件的判断…………师生共研 【例1】 (1)(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 (1)由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c