第1章 第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 不等式解法是不等式中的重要内容，“三个‘二次’”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点. [知识梳理] 1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集 (1)当a>0时，解集为　　. (2)当a<0时，解集为　　. 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根 x1＝x2＝－ 没有实根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 __{x|x＜x1或x＞x2}__ 　　 　R　 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 __{x|x1＜x＜x2}__ __∅__ __∅__ [注意] 解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时，如果条件未给出是一元二次不等式，则要分a＝0和a≠0两种情况讨论． 常用结论　 (1)分式不等式的解法 ①>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． ②≥0(≤0)⇔ (2)两个恒成立的充要条件 ①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ ②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　) 答案 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．设集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　　) A．(－2,3) B．(1,3) C．(3,4) D．(－2,4) 答案　B 解析　由题意知A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝(1,3)．故选B项． 3．不等式≤0的解集为(　　) A．{x|x＜1或x≥3} B．{x|1≤x≤3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1＜x＜3} 答案　C 解析　由≤0，得 解得1＜x≤3.故选C项． 4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________. 解析 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－4<x<1. 答案 {x|－4<x<1} 5．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________. 解析 ①当m＝0时，1>0显然成立； ②当m≠0时，由条件知 解得0<m<1.由①②知0≤m<1，即m的取值范围是[0,1)． 答案 [0,1) 考点一　一元二次不等式的解法…………师生共研 【例1】 解下列关于x的不等式． (1)0<x2－x－2≤4； (2)≤1； (3)12x2－ax>a2(a∈R)． 解析 (1)原不等式等价于 即即 解得故原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}． (2)≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔≥0⇔ 解得x>－或x≤－2.故原不等式的解集为. (3)因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，－<， 不等式的解集为； 当a＝0时，－＝＝0， 不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a<0时，－>， 不等式的解集为. 综上，当a>0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为. 归纳总结　 (1)解一元二次不等式的方法和步骤 (2)解含参数的一元二次不等式的步骤 【对点训练】 1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为__________________． 解析 2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为. 答案 2．(2021·1月上海)不等式<1的解集为____________. 解析 <1，即－1<0，即<0，解得－7<x<2，因此不等式的解集为{x|－7<x<2}． 答案 {x|－7<x<2} 3．解不等式ax2